Аффинная связь как средство дифференцирования векторных полей на многообразиях.

Введение

Конструкция, позволяющая дифференцировать тангенциальные векторные поля многообразий

В дифференциальной геометрии аффинное соединение — это геометрический объект на гладком многообразии, который связывает близлежащие тангенциальные пространства, тем самым позволяя дифференцировать тангенциальные векторные поля так, как если бы они были функциями на многообразии со значениями в фиксированном векторном пространстве. Соединения являются одними из самых простых способов определения дифференцирования сечений векторных расслоений. Понятие аффинного соединения берет свои корни в геометрии и тензорном исчислении XIX века, но было полностью разработано лишь в начале 1920-х годов Эли Картаном (в рамках его общей теории соединений) и Германом Вейлем (который использовал это понятие как часть основ общей теории относительности). Терминология принадлежит Картану и восходит к идентификации тангенциальных пространств в евклидовом пространстве Rⁿ посредством сдвига: идея заключается в том, что выбор аффинного соединения делает многообразие бесконечно мало похожим на евклидово пространство не только гладко, но и как аффинное пространство. На любом многообразии положительной размерности существует бесконечно много аффинных соединений. Если многообразие дополнительно наделено метрическим тензором, то существует естественный выбор аффинного соединения, называемый связью Леви-Чивиты. Выбор аффинного соединения эквивалентен предписанию способа дифференцирования векторных полей, удовлетворяющего нескольким разумным свойствам (линейности и правилу Лейбница). Это дает возможное определение аффинного соединения как ковариантной производной или (линейного) соединения на тангенциальном расслоении. Выбор аффинного соединения также эквивалентен понятию параллельного переноса, который является методом переноса тангенциальных векторов вдоль кривых. Это также определяет параллельный перенос на расслоении кадров. Инфинитезимальный параллельный перенос в расслоении кадров дает другое описание аффинного соединения, либо как соединение Картана для аффинной группы, либо как главное соединение на расслоении кадров. Основными инвариантами аффинного соединения являются его торсия и кривизна. Торсия измеряет, насколько близко скобка Ли векторных полей может быть восстановлена из аффинного соединения. Аффинные соединения также могут использоваться для определения (аффинных) геодезических на многообразии, обобщая прямые линии евклидова пространства, хотя геометрия этих прямых линий может сильно отличаться от обычной евклидовой геометрии; основные различия заключаются в кривизне соединения.

Мотивация и история

Гладкое многообразие — это математический объект, который локально выглядит как гладкая деформация евклидова пространства Rⁿ: например, гладкая кривая или поверхность локально выглядит как гладкая деформация прямой или плоскости. На многообразиях можно определять гладкие функции и векторные поля, как и на евклидовом пространстве, а скалярные функции на многообразиях можно дифференцировать естественным образом. Однако дифференцирование векторных полей — задача более сложная: в евклидовом пространстве это просто, поскольку тангенциальное пространство базисных векторов в точке p можно естественным образом (путем переноса) отождествить с тангенциальным пространством в близкой точке q. На общем многообразии такой естественной идентификации между соседними тангенциальными пространствами нет, и поэтому тангенциальные векторы в близких точках нельзя сравнивать однозначно. Понятие аффинной связности было введено для решения этой проблемы путем установления связи между соседними тангенциальными пространствами. Истоки этой идеи восходят к двум основным источникам: теории поверхностей и тензорному исчислению.

Мотивация из теории поверхности

Рассмотрим гладкую поверхность S в трёхмерном евклидовом пространстве. Вблизи любой точки поверхность S может быть приближена своей касательной плоскостью в этой точке, которая является аффинным подпространством евклидова пространства. Дифференциальные геометры в XIX веке интересовались понятием развития, при котором одна поверхность катится вдоль другой, не проскальзывая и не скручиваясь. В частности, касательная плоскость к точке S может быть прокачена по S: это легко представить, когда S — поверхность, подобная 2-сфере, являющейся гладкой границей выпуклой области. Когда касательная плоскость прокатывается по S, точка контакта описывает кривую на S. И наоборот, задав кривую на S, можно прокатить касательную плоскость вдоль этой кривой. Это позволяет отождествлять касательные плоскости в различных точках вдоль кривой: в частности, тангенциальный вектор в касательном пространстве в одной точке кривой отождествляется с единственным тангенциальным вектором в любой другой точке кривой. Эти отождествления всегда задаются аффинными преобразованиями из одной касательной плоскости в другую. Это понятие параллельного переноса тангенциальных векторов посредством аффинных преобразований вдоль кривой имеет характерную особенность: точка контакта касательной плоскости с поверхностью всегда движется вместе с кривой при параллельном переносе (то есть, по мере прокатывания касательной плоскости по поверхности, точка контакта перемещается). Это общее условие характерно для картанских связностей. В более современных подходах точка контакта рассматривается как начало координат в касательной плоскости (которая тогда является векторным пространством), и перемещение начала координат корректируется трансляцией, так что параллельный перенос становится линейным, а не аффинным. Однако, с точки зрения картанских связностей, аффинные подпространства евклидова пространства являются моделями поверхностей — они являются самыми простыми поверхностями в евклидовом 3-пространстве и однородны относительно аффинной группы плоскости — и для каждой гладкой поверхности существует единственная модель поверхности, касательная к ней в каждой точке. Эти модельные поверхности являются геометриями Клейна в смысле эрлангенской программы Феликса Клейна. В более общем смысле, n-мерное аффинное пространство является геометрией Клейна для аффинной группы Aff(n), стабилизатором точки в которой является общая линейная группа GL(n). Аффинное n-многообразие — это многообразие, которое бесконечно мало локально выглядит как n-мерное аффинное пространство.

Мотивация из тензорного исчисления

Вторая мотивация для аффинных связей проистекает из понятия ковариантной производной векторных полей. До появления методов, не зависящих от координат, было необходимо работать с векторными полями, вкладывая их соответствующие евклидовы векторы в атлас. Компоненты этих полей можно дифференцировать, но производные не преобразуются удобным образом при изменении координат. Корректирующие члены были введены Элвином Бруно Кристоффелем (основываясь на идеях Бернарда Римана) в 1870-х годах, чтобы (скорректированная) производная одного векторного поля вдоль другого преобразовывалась ковариантно при координатных преобразованиях – эти корректирующие члены впоследствии стали известны как символы Кристоффеля. Эта идея была развита в теорию абсолютного дифференциального исчисления (ныне известную как тензорный анализ) Грегорио Риччи Курбастро и его учеником Туллио Леви-Чивитой между 1880 и началом XX века. Однако тензорный анализ по-настоящему ожил с появлением теории общей относительности Альберта Эйнштейна в 1915 году. Спустя несколько лет Леви-Чивита формализовал единственную связь, связанную с римановой метрикой, ныне известную как связь Леви-Чивиты. Более общие аффинные связи были изучены около 1920 года Германом Вейлем, который разработал детальное математическое обоснование общей теории относительности, и Эли Картаном, который установил связь с геометрическими идеями, берущими начало в теории поверхностей.

Подходы

Сложная история привела к развитию самых разнообразных подходов и обобщений концепции аффинного связного. Наиболее распространенным подходом, вероятно, является определение, основанное на ковариантных производных. С одной стороны, идеи Вейля были восприняты физиками в форме теории калибровки и ковариантных производных калибровки. С другой стороны, понятие ковариантной дифференциации было абстрагировано Жаном Луи Козулем, который определил (линейные или козульские) связности на векторных расслоениях. В этих терминах аффинное связное – это просто ковариантная производная или (линейная) связность на касательном расслоении. Однако этот подход не объясняет геометрию, лежащую в основе аффинных связных, и не раскрывает происхождение их названия. Сам термин берет начало в отождествлении тангенциальных пространств в евклидовом пространстве посредством сдвига: это свойство означает, что евклидово n-мерное пространство является аффинным пространством. (В качестве альтернативы, евклидово пространство можно рассматривать как главное однородное пространство или торсор относительно группы сдвигов, которая является подгруппой аффинной группы.) Как упоминалось во введении, существует несколько способов формализовать это: один из них основан на том факте, что аффинное связное определяет понятие параллельного переноса векторных полей вдоль кривой. Это также определяет параллельный перенос на расслоении кадров. Инфинитезимальный параллельный перенос в расслоении кадров дает другое описание аффинного связного, либо как связность Картана для аффинной группы Aff(n), либо как главное GL(n)-связное на расслоении кадров.

Элементарные свойства

Из свойства 1 выше следует, что значение ∇XY в точке x ∈ M зависит только от значения X в x, а не от значения X на M − {x}. Из свойства 2 выше также следует, что значение ∇XY в точке x ∈ M зависит только от значения Y в окрестности x. Если ∇^(1), ∇^(2) являются аффинными связностями, то значение в x можно записать как Γx(Xx, Yx), где Γ является двулинейным и гладко зависит от x (т.е. определяет гладкий гомоморфизм пучка). И наоборот, если ∇ является аффинной связностью, а Γ – такой гладкий двулинейный гомоморфизм пучка (называемый формой связности на M), то ∇ + Γ является аффинной связностью. Если M – открытое подмножество R^(n), то касательный пучок M – тривиальный пучок M × R^(n). В этой ситуации существует каноническая аффинная связность d на M: любое векторное поле Y задается гладкой функцией V из M в R^(n); тогда dXY – это векторное поле, соответствующее гладкой функции из M в R^(n). Поэтому любую другую аффинную связность ∇ на M можно записать ∇ = d + Γ, где Γ является формой связности на M. Более общо, локальная тривиализация касательного пучка – это изоморфизм пучка между ограничением TM на открытое подмножество U ⊂ M и U × R^(n). Ограничение аффинной связности ∇ на U может быть записано в форме d + Γ, где Γ является формой связности на U.

Определение аффинного пространства

Неформально, аффинное пространство — это векторное пространство без фиксированного выбора начала координат. Оно описывает геометрию точек и свободных векторов в пространстве. Вследствие отсутствия начала координат, точки в аффинном пространстве нельзя складывать, так как это требует выбора начала координат для формирования закона параллелограмма сложения векторов. Однако вектор v можно добавить к точке p, поместив начало вектора в точку p, а затем перенося p в конец вектора. Операция, таким образом описанная как p → p + v, является переносом точки p вдоль вектора v. В техническом плане, аффинное n-пространство — это множество Aⁿ, снабжённое свободным транзитивным действием векторной группы Rⁿ на него посредством этой операции переноса точек: Aⁿ, таким образом, является главным однородным пространством для векторной группы Rⁿ. Общая линейная группа GL(n) — это группа преобразований Rⁿ, сохраняющих линейную структуру Rⁿ в том смысле, что… По аналогии, аффинная группа Aff(n) — это группа преобразований Aⁿ, сохраняющих аффинную структуру. Таким образом, φ ∈ Aff(n) должно сохранять переносы в том смысле, что, где T — общее линейное преобразование. Отображение, посылающее φ ∈ Aff(n) в T ∈ GL(n), является групповым гомоморфизмом. Его ядро — группа переносов Rⁿ. Стабилизатор любой точки p в A, таким образом, может быть отождествлён с GL(n) посредством этой проекции: это реализует аффинную группу как полупрямое произведение GL(n) и Rⁿ, а аффинное пространство — как однородное пространство Aff(n)/GL(n).

Общие аффинные геометрии: формальные определения

Аффинное пространство, как и практически любая гладкая геометрия Клейна, представляет собой многообразие, снабжённое плоским соединением Картана. Более общие аффинные многообразия или аффинные геометрии легко получаются путём отбрасывания условия плоскостности, выраженного уравнениями Маурера-Картана. Существует несколько подходов к определению, и будут представлены два из них. Оба определения упрощаются за счёт понимания того, что 1-формы в плоской модели объединяются, образуя 1-форму со значениями в алгебре Ли 'aff'(n) аффинной группы Aff(n). В этих определениях M — гладкое n-многообразие, а — аффинное пространство той же размерности.

Определение как основная аффиновая связь

Аффинное соединение на M — это главный расслоение Aff(n) Q над M, вместе с главным GL(n)-подрасслоением P в Q и главным Aff(n)-соединением α (1-форма на Q со значениями в 'aff'(n)), удовлетворяющим следующему (общему) условию Картана. Компонента R^(n) от обратного перехода α на P является горизонтальной эквивариантной 1-формой и, следовательно, определяет гомоморфизм расслоений из TM в P ×GL(n) R^(n). Требуется, чтобы это было изоморфизмом.

Связь с мотивацией

Поскольку Aff(n) действует на A, то, связанный с главным расслоением Q, существует расслоение, являющееся расслоением с волокнами над M, волокно которого в точке x ∈ M представляет собой аффинное пространство Ax. Сечение a расслоения A (определяющее отмеченную точку ax в Ax для каждой точки x ∈ M) определяет главное GL(n)-подрасслоение P расслоения Q (как расслоение стабилизаторов этих отмеченных точек) и наоборот. Главное соединение α определяет соединение Эресмана на этом расслоении, а следовательно, понятие параллельного переноса. Условие Картана гарантирует, что выделенное сечение всегда перемещается при параллельном переносе.

Разработка

Аффинное соединение определяет понятие развития кривых. Интуитивно, развитие отражает идею о том, что если xt — кривая в M, то аффинное касательное пространство в точке x0 можно перекатывать вдоль этой кривой. При этом отмеченная точка контакта между касательным пространством и многообразием описывает кривую Ct в этом аффинном пространстве: развитие кривой xt. В формальном выражении, пусть — линейный оператор параллельного переноса, связанный с аффинным соединением. Тогда развитие Ct — это кривая в Tx0M, начинающаяся в 0 и параллельная касательному вектору к xt для всех t:

В частности, xt является геодезической тогда и только тогда, когда её развитие является аффинно параметризованной прямой в Tx0M.

Теория поверхности пересмотрена

Если M — поверхность в R³ , легко увидеть, что M обладает естественной аффинной связностью. С точки зрения линейной связности, ковариантная производная векторного поля определяется дифференцированием векторного поля, рассматриваемого как отображение из M в R³ , с последующей ортогональной проекцией результата обратно в касательные пространства M. Легко показать, что эта аффинная связность не имеет кручения. Более того, она является метрической связностью относительно римановой метрики на M, индуцированной внутренним произведением на R³ , и, следовательно, представляет собой связь Леви-Чивиты этой метрики.

Основные исторические ссылки

Подход Картана к аффинным связям был обусловлен изучением теории относительности. Включает подробное обсуждение физики систем отсчета и того, как связь отражает физическое представление о переносе вдоль мировой линии. Более математически обоснованное изложение аффинных связей. Аффинные связи с точки зрения римановой геометрии. В приложениях Роберта Германна рассматривается мотивация, исходящая из теории поверхностей, а также понятие аффинных связей в современном смысле Козула. Он развивает основные свойства дифференциального оператора ∇ и связывает их с классическими аффинными связями в понимании Картана.