Введение

Общая концепция и операция в математике, свойство задач оптимизации.

В математике дуальность переводит понятия, теоремы или математические структуры в другие понятия, теоремы или структуры в соответствии один к одному, часто (но не всегда) посредством инволюционной операции: если дуальным к A является B, то дуальным к B является A. Такие инволюции иногда имеют неподвижные точки, так что дуальным к A является само A. Например, теорема Дезарга самодуальна в этом смысле относительно стандартной дуальности в проективной геометрии. В математическом контексте дуальность имеет множество значений. Она была описана как «чрезвычайно распространенное и важное понятие в (современной) математике» и «важная общая тема, проявляющаяся практически во всех областях математики». Многие математические дуальности между объектами двух типов соответствуют спариваниям, билинейным функциям, отображающим объект одного типа и другой объект второго типа в некоторое семейство скаляров. Например, дуальность в линейной алгебре соответствует таким образом билинейным отображениям из пар векторных пространств в скаляры, дуальность между распределениями и соответствующими пробными функциями соответствует спариванию, в котором распределение интегрируется по пробной функции, а дуальность Пуанкаре аналогично соответствует числу пересечений, рассматриваемому как спаривание между подмногообразиями заданного многообразия. С точки зрения теории категорий, дуальность также можно рассматривать как функтор, по крайней мере, в области векторных пространств. Этот функтор сопоставляет каждому пространству его двойственное пространство, а конструкция обратного отображения (pullback) сопоставляет каждой стрелке f: V → W ее двойственную.

Дополнение подмножества

Простая двойственность возникает при рассмотрении подмножеств фиксированного множества S. Для любого подмножества A, комплемент к нему состоит из всех элементов в S, не содержащихся в A. Это снова подмножество S. Операция взятия комплемента обладает следующими свойствами: применение ее дважды возвращает исходное множество, то есть . Это называется инволюцией. Включение множеств превращается во включение в противоположном направлении: . Для двух подмножеств A и B множества S, A содержится в B тогда и только тогда, когда B содержится в .
Эта двойственность проявляется в топологии как двойственность между открытыми и замкнутыми подмножествами некоторого фиксированного топологического пространства X: подмножество U пространства X является замкнутым, если и только если его комплемент в X открыт. Благодаря этому, многие теоремы о замкнутых множествах являются двойственными теоремам об открытых множествах. Например, любое объединение открытых множеств открыто, следовательно, двойственно, любое пересечение замкнутых множеств замкнуто. Внутренность множества – это наибольшее открытое множество, содержащееся в нем, а замыкание множества – наименьшее замкнутое множество, содержащее его. В силу этой двойственности, комплемент к внутренности любого множества U равен замыканию комплемента к U.

Двойное векторное пространство

Очень важный пример двойственности возникает в линейной алгебре, когда каждому векторному пространству V сопоставляется его двойственное векторное пространство. Его элементами являются линейные функционалы, где K – поле, над которым определено V. Три свойства двойственного конуса переносятся на этот тип двойственности путем замены подмножеств на векторные пространства и включений этих подмножеств на линейные отображения. То есть: повторное применение операции взятия двойственного векторного пространства дает другое векторное пространство. Всегда существует отображение. Для некоторых V, а именно, для конечномерных векторных пространств, это отображение является изоморфизмом. Линейное отображение порождает отображение в противоположном направлении. Для двух векторных пространств V и W отображения из V соответствуют отображениям из W в. Особенностью этой двойственности является то, что V и изоморфны для определенных объектов, а именно, для конечномерных векторных пространств. Однако это, в некотором смысле, счастливое совпадение, поскольку для установления такого изоморфизма требуется определенный выбор, например, выбор базиса в V. Это также верно, если V является гильбертовым пространством, согласно теореме о представлении Рисса.

Двойственность с обратным порядком

При наличии частично упорядоченного множества (poset, сокращенно; то есть множества, которое имеет понятие упорядочения, но в котором два элемента не обязательно могут быть сопоставлены по порядку относительно друг друга), двойственное poset состоит из того же базового множества, но с обратным отношением. Хорошо известные примеры двойственных частичных порядков включают:

отношения подмножества и надмножества ⊂ и ⊃ на любом наборе множеств, например, подмножества фиксированного множества S. Это приводит к первому примеру двойственности, упомянутому выше; отношения делимости и кратности на целых числах; отношения "потомок" и "предок" на множестве людей. Преобразование двойственности — это инволютивный антиавтоморфизм f частично упорядоченного множества S, то есть инволюция, меняющая порядок на обратный. В ряде важных случаев эти простые свойства однозначно определяют преобразование с точностью до некоторых простых симметрий. Например, если f и g — два преобразования двойственности, то их композиция является автоморфизмом порядка на S; таким образом, любые два преобразования двойственности отличаются друг от друга только автоморфизмом порядка. Например, все автоморфизмы порядка на множестве степеней индуцируются перестановками R.

Концепция, определенная для частичного порядка P, будет соответствовать двойственной концепции на двойственном poset. Например, минимальный элемент P будет максимальным элементом : минимальность и максимальность — двойственные понятия в теории порядка. Другие пары двойственных концепций — верхние и нижние границы, нижние и верхние множества, идеалы и фильтры. В топологии открытые и закрытые множества — двойственные понятия: дополнение открытого множества является закрытым, и наоборот. В теории матроидов семейство множеств, дополняющих независимые множества заданного матроида, само образует другой матроид, называемый двойственным матроидом.

Двойственность с обратным измерением

Существует множество различных, но взаимосвязанных двойственностей, в которых геометрические или топологические объекты соответствуют другим объектам того же типа, но с обращением размерности признаков объектов. Классическим примером является двойственность платоновых тел, где куб и октаэдр образуют двойственную пару, додекаэдр и икосаэдр образуют двойственную пару, а тетраэдр самодвойственен. Двойный полиэдр любого из этих многогранников может быть построен как выпуклая оболочка центров граней исходного полиэдра, таким образом, вершины двойного соответствуют одна к одной граням исходного. Аналогично, каждое ребро двойного соответствует ребру исходного, а каждая грань двойного – вершине исходного. Эти соответствия сохраняют инцидентность: если две части исходного многогранника соприкасаются, то и соответствующие части двойного многогранника также соприкасаются. В более общем случае, используя понятие полярной взаимности, любому выпуклому полиэдру или, в более общем смысле, любому выпуклому политопу соответствует двойственный полиэдр или двойственный политоп, где i-мерный признак n-мерного политопа соответствует размерному признаку двойственного политопа. Сохраняющая инцидентность природа двойственности отражается в том, что решетки граней исходного и двойственного полиэдров или политопов сами являются двойственными по порядку. Двойственность политопов и двойственность по порядку – обе инволюции: двойственный политоп двойственного политопа любого политопа является исходным политопом, и обращение всех отношений порядка дважды возвращает исходный порядок. Выбор другого центра полярности приводит к геометрически различным двойственным политопам, но все они имеют одну и ту же комбинаторную структуру. Из любого трехмерного многогранника можно построить плоский граф – граф его вершин и ребер. Двойственный полиэдр имеет двойственный граф, граф с одной вершиной для каждой грани полиэдра и одним ребром для каждой пары смежных граней. То же понятие двойственности плоских графов может быть обобщено на графы, нарисованные на плоскости, но не происходящие из трехмерного полиэдра, или, в более общем смысле, на графовые вложения на поверхностях более высокого рода: можно построить двойственный граф, поместив одну вершину в каждой области, ограниченной циклом ребер во вложении, и проведя ребро, соединяющее любые две области, имеющие общий ограничивающий край. Важный пример этого типа исходит из вычислительной геометрии: двойственность для любого конечного множества S точек на плоскости между триангуляцией Делоне S и диаграммой Вороного S. Как и в случае двойственных полиэдров и двойственных политопов, двойственность графов на поверхностях является инволюцией, обращающей размерность: каждая вершина во вложенном исходном графе соответствует области двойного вложения, каждое ребро в исходном пересекается ребром в двойственном, и каждая область исходного соответствует вершине двойственного. Двойственный граф зависит от того, как вложен исходный граф: различные плоские вложения одного и того же графа могут привести к различным двойственным графам. Матроидная двойственность является алгебраическим обобщением двойственности плоских графов, в том смысле, что двойственный матроид графического матроида плоского графа изоморфен графическому матроиду двойственного графа. В теории оптимизации также встречается своего рода геометрическая двойственность, но не такая, которая обращает размерность. Линейная программа может быть задана системой вещественных переменных (координаты точки в евклидовом пространстве), системой линейных ограничений (определяющих, что точка лежит в полупространстве; пересечение этих полупространств является выпуклым политопом, допустимой областью программы) и линейной функцией (что оптимизировать). Каждая линейная программа имеет двойственную задачу с тем же оптимальным решением, но переменные в двойственной задаче соответствуют ограничениям в исходной задаче и наоборот.

Двойные объекты

Группу дуальностей можно описать, наделив для любого математического объекта X множество морфизмов в некоторый фиксированный объект D структурой, подобной структуре X. Это иногда называют внутренним Hom. В общем случае, это дает истинную двойственность только при определенных выборах D, в этом случае она называется двойственной к X. Всегда существует отображение из X в бидвойственное, то есть двойственное к двойственному.

Оно сопоставляет некоторому элементу x отображение, которое сопоставляет любому морфизму f (то есть элементу в Hom(X,D)) значение f(x). В зависимости от рассматриваемой конкретной двойственности и, также, от объекта X, это отображение может быть, а может и не быть изоморфизмом.

Изоморфизмы пространств и и внутренних продуктов

Векторное пространство V изоморфно точно тогда, когда V конечномерно. В этом случае такой изоморфизм эквивалентен невырожденной билинейной форме.

В этом случае V называется пространством с внутренним произведением. Например, если K – поле вещественных или комплексных чисел, любая положительно определенная билинейная форма порождает такой изоморфизм. В римановой геометрии V рассматривается как касательное пространство многообразия, а такие положительно определенные билинейные формы называются римановыми метриками. Их назначение – измерение углов и расстояний. Таким образом, двойственность является фундаментальной основой этой ветви геометрии. Другим применением пространств с внутренним произведением является звезда Ходжа, которая устанавливает соответствие между элементами внешней алгебры. Для n-мерного векторного пространства оператор звезды Ходжа отображает k-формы в (n − k)-формы. Это можно использовать для записи уравнений Максвелла. В таком представлении двойственность, присущая пространству с внутренним произведением, меняет местами роли магнитных и электрических полей.

Гомология и кохомология

Теоремы, показывающие, что определенные интересующие объекты являются дуальными пространствами (в смысле линейной алгебры) других интересующих объектов, часто называют двойственностями. Многие из этих двойственностей задаются билинейным спариванием двух K-векторных пространств A ⊗ B → K. Для совершенных спариваний, существует, следовательно, изоморфизм между A и дуальным пространством B.

Дуальность в алгебраической топологии

Джеймс С. Беккер и Дэниел Генри Готлиб, История дуальности в алгебраической топологии.