Кіріспе
Математикадағы жалпы түсінік және операция. Оптимизациялау мәселелерінің қасиеттері.
the property of optimization problems
Математикада дуалдық түсініктерді, теоремаларды немесе математикалық құрылымдарды басқа түсініктерге, теоремаларға немесе құрылымдарға бір-бірге сәйкес түрде аударады, көбінесе (бірақ әрқашан емес) инволюция операциясы арқылы: егер A-ның дуалы B болса, онда B-нің дуалы A болады. Мұндай инволюцияларда кейде өзгермейтін нүктелер болады, яғни A-ның дуалы A-ның өзі. Мысалы, Десарг теоремасы проективті геометриядағы стандартты дуалдыққа қатысты осы мағынада өзіне дуалды болып табылады. Математикалық контексте дуалдықтың көптеген мағыналары бар. Оны «математикадағы (қазіргі заманғы) өте кең таралған және маңызды түсінік» және «математиканың дерлік барлық саласында көрініс табатын маңызды жалпы тақырып» деп сипаттаған. Екі типтегі объектілер арасындағы көптеген математикалық дуалдықтар жұптасуларға сәйкес келеді, яғни біртұтас функция бір типтегі объектіден және екінші типтегі объектіден скалярлардың белгілі бір жиынына. Мысалы, сызықтық алгебрадағы дуалдық векторлық кеңістіктер жұбынан скалярларға дейінгі билинеарлық бейнелеулерге сәйкес келеді, таралымдар мен оған байланысты тесттік функциялар арасындағы дуалдық бір таралымды тесттік функцияға қарсы интегралдау арқылы жүзеге асырылатын жұптасуға сәйкес келеді, ал Пуанкаре дуалдығы да берілген көптүрліліктің ішкі көптүрліліктерінің жұптасуы ретінде қарастырылатын қиылысу санына ұқсас келеді. Категориялар теориясы тұрғысынан алғанда, дуалдықты, кем дегенде векторлық кеңістіктер саласында, функтор ретінде де қарастыруға болады. Бұл функтор әр кеңістікке оның дуалдық кеңістігін тағайындайды, ал кері тарту құрылымы әр f: V → W бейнесіне оның дуалдығын тағайындайды.
Кіші жиынның толықтығы
Тұрақты жиынның S ішкі жиындарын қарастыру арқылы қарапайым дуалдық туындайды. Кез келген ішкі жиынның толықтығы S жиынындағы A-ға кірмейтін барлық элементтерден тұрады. Ол да S жиынының ішкі жиыны болып табылады. Толықтығын алудың келесідей қасиеттері бар: оны екі рет қолдану бастапқы жиынды қайтарады, яғни . Бұл толықтығын алу операциясы инволюция деп аталады. Жиынның кіші жиыны - қарама-қарсы бағыттағы кіші жиынға айналады. Егер S жиынының екі ішкі жиыны A және B болса, A егер және тек қана B болса ғана кіріктірілген. Бұл дуалдық топологияда белгілі бір топологиялық кеңістік X-тің ашық және жабық ішкі жиындары арасындағы дуалдық ретінде көрінеді: X-тің U ішкі жиыны жабық, егер және тек қана оның X-тегі толықтығы ашық болса. Осы себепті, жабық жиындарға қатысты көптеген теоремалар ашық жиындарға қатысты теоремалармен жұптасқан. Мысалы, ашық жиындардың кез келген біріктірілісі ашық, сондықтан дуалды түрде жабық жиындардың кез келген қиылысы жабық. Жиынның ішкі бөлігі – оның ішіндегі ең үлкен ашық жиын, ал жиынның жабылуы – оны қамтитын ең кіші жабық жиын. Дуалдық қағидасының арқасында кез келген U жиынының ішкі бөлігінің толықтығы U жиынының жабылуына тең.
Applying it twice gives back the original set, i. e., This is referred to by saying that the operation of taking the complement is an involution. An inclusion of sets is turned into an inclusion in the opposite direction Given two subsets A and B of S, A is contained in if and only if B is contained in
This duality appears in topology as a duality between open and closed subsets of some fixed topological space X: a subset U of X is closed if and only if its complement in X is open. Because of this, many theorems about closed sets are dual to theorems about open sets. For example, any union of open sets is open, so dually, any intersection of closed sets is closed. The interior of a set is the largest open set contained in it, and the closure of the set is the smallest closed set that contains it. Because of the duality, the complement of the interior of any set U is equal to the closure of the complement of U.
Екілік векторлық кеңістік
Екіліктің өте маңызды мысалы сызықтық алгебрада кез келген V векторлық кеңістігіне оның қос векторлық кеңістігін байланыстыру арқылы туындайды. Оның элементтері – сызықтық функционалдар, мұнда K – V анықталатын саладағы өріс. Екілік конустың үш қасиеті осы типтегі екілікке векторлық кеңістіктерді және осындай ішкі жиындардың сызықтық бейнелеулерін алмастыру арқылы көшеді. Яғни: қос векторлық кеңістікті екі рет алу операциясы тағы бір векторлық кеңістік береді. Кейбір V үшін, атап айтқанда, шекті өлшемді векторлық кеңістіктер үшін, мұндай бейнелеу бар. Бұл бейнелеу изоморфизм болады. Сызықтық бейнелеу қарама-қарсы бағыттағы бейнелеуді тудырады. Егер V және W екі векторлық кеңістік болса, V-ден W-ге дейінгі бейнелеулер W-ден V-ге дейінгі бейнелеулерге сәйкес келеді. Осы екіліктің ерекшелігі – V және оның қосымша кеңістігі белгілі бір жағдайларда, атап айтқанда шекті өлшемді векторлық кеңістіктер үшін изоморфты. Дегенмен, бұл белгілі бір жағынан сәтті кездейсоқтық, себебі мұндай изоморфизмді құру үшін нақты таңдау қажет, мысалы V-тің базисін таңдау. Бұл V Гильберт кеңістігі болған жағдайда да дұрыс, Риецтің бейнелеу теоремасы арқылы.
Applying the operation of taking the dual vector space twice gives another vector space There is always a map For some V, namely precisely the finite dimensional vector spaces, this map is an isomorphism. A linear map gives rise to a map in the opposite direction Given two vector spaces V and W, the maps from V to correspond to the maps from W to A particular feature of this duality is that V and are isomorphic for certain objects, namely finite dimensional vector spaces. However, this is in a sense a lucky coincidence, for giving such an isomorphism requires a certain choice, for example the choice of a basis of V. This is also true in the case if V is a Hilbert space, via the Riesz representation theorem.
Ретті кері қайтаратын дуалдықтар
Посет (ішінара реттелген жиынның қысқартылған атауы; яғни, реттелу ұғымы бар, бірақ екі элементті бір-біріне қатысты ретке келтіру міндетті емес жиын) берілген жағдайда, оның қосымша посеті сол негізгі жиынтықты, бірақ кері қатынасты қамтиды. Екілік ішінара реттердің белгілі мысалдары:
кәз келген жиынтар жинағындағы қосалқы жиын және супержиын қатынастары ⊂ және ⊃, мысалы, S жиынының қосалқы жиындары. Бұл жоғарыда аталған екіліктің бірінші мысалын тудырады. бүтін сандардағы бөлінеді және еселік қатынастары. адамдар жиынындағы ұрпақ және ата-ана қатынастары. Дуальдік трансформация – бұл ішінара реттелген S жиынының инволюциялық антиавтоморфизмі f, яғни ретті кері өзгертетін инволюция. Көптеген маңызды жағдайларда осы қарапайым қасиеттер трансформацияны кейбір қарапайым симметрияларға дейін бірегей түрде анықтайды. Мысалы, егер f және g екі дуальдік трансформация болса, олардың композициясы S жиынының реттік автоморфизмі болады; демек, кез келген екі дуальдік трансформация тек реттік автоморфизммен ғана ерекшеленеді. Мысалы, қуат жиынының барлық реттік автоморфизмдері R-дің пермутациялары арқылы туындайды.
Ішінара рет P үшін анықталған түсінік, қосымша посете сәйкес келетін дуальді түсінікке ие болады. Мысалы, P-нің минималды элементі -тің максималды элементі болады: минималдылық және максималдылық – тәртіп теориясындағы дуальді түсініктер. Басқа дуальді түсініктер жұптары – жоғарғы және төменгі шектер, төменгі және жоғарғы жиынтар, идеалдар және сүзгілер. Топологияда ашық және жабық жиынтар – дуальді түсініктер: ашық жиынның толықтығы жабық, және керісінше. Матроид теориясында берілген матроидтың тәуелсіз жиындарына толықтыратын жиындардың жиыны өзі басқа матроидты құрайды, ол қосымша матроид деп аталады.
Өлшемін кері қайтару екіліктері
Геометриялық немесе топологиялық нысандар бір типтегі басқа нысандарға сәйкес келетін, бірақ нысандардың ерекшеліктерінің өлшемдері кері ауыстырылатын көптеген ерекше, бірақ өзара байланысты дуалдықтар бар. Бұған классикалық мысал – Платондық денелердің дуалдығы, онда куб пен октаэдр дуал жұпты құрайды, додекаэдр мен икосаэдр дуал жұпты құрайды, ал тетраэдр өзіне-өзі дуал болады. Осы көпбұрыштардың кез келгенінің дуал көпбұрышы бастапқы көпбұрыштың әр бетінің орталық нүктелерінің дөңгелек қабығы ретінде құрылуы мүмкін, сондықтан дуалдың төбелері бастапқының беттерімен бір-бірден сәйкес келеді. Сол сияқты, дуалдың әрбір қабырғасы бастапқының қабырғасына сәйкес келеді, ал дуалдың әрбір беті бастапқының төбесіне сәйкес келеді. Бұл сәйкестіктер инцидентті сақтайды: егер бастапқы көпбұрыштың екі бөлігі бір-біріне жанасса, онда дуал көпбұрыштың сәйкес келетін екі бөлігі де солай болады. Әрі қарай, полярлық өзара байланыс тұжырымын қолдана отырып, кез келген дөңгелек көпбұрыш, немесе жалпы алғанда кез келген дөңгелек көпбұрыш, дуал көпбұрышқа немесе дуал көпбұрышқа сәйкес келеді, онда n өлшемді көпбұрыштың i өлшемді ерекшелігі дуал көпбұрыштың өлшемді ерекшелігіне сәйкес келеді. Дуалдылықтың инцидентті сақтау сипаты бастапқы және дуал полиэдрлердің немесе политоптардың беттік торларының өзі реттік теориялық дуалдар екендігінде көрінеді. Политоптардың дуалдығы және реттік теориялық дуалдылық екеуі де инволюциялар: кез келген политоптың дуал политопының дуал политопы бастапқы политоп болып табылады, ал барлық реттік қатынастарды екі рет кері қайтару бастапқы реттікке қайтарады. Полярлық орталықты әртүрлі таңдау геометриялық жағынан әртүрлі дуал политоптарға әкеледі, бірақ олардың барлығы бірдей комбинаторлық құрылымға ие. Кез келген үш өлшемді полиэдрден жазық графты, оның төбелері мен қабырғаларының графы жасауға болады. Дуал полиэдрде дуал граф бар, бұл полиэдрдің әр беті үшін бір төбесі және әр екі іргелес бет үшін бір қабырғасы бар граф. Жазық графтың дуал тұжырымы жазықтықта сызылған, бірақ үш өлшемді полиэдрден келмейтін графтарға немесе жалпы жоғары туысқандыққа ие беттердегі графтарға дайындалуы мүмкін: ендірудегі қабырғалар циклымен шектелген әр аймақта бір төбесін орналастыру және шекара қабырғасын бөлісетін кез келген екі аймақты жалғастыратын қабырға салу арқылы дуал графты құруға болады. Бұл түрдің маңызды мысалы есептеу геометриясынан келеді: жазықтықтағы кез келген нүктелер жиынтығы S үшін S-тің Делоне триангуляциясы мен S-тің Вороной диаграммасы арасындағы дуалдық. Дуал полиэдрлер мен дуал политоптар сияқты, беттердегі графтардың дуалдығы өлшемді кері инволюция болып табылады: бастапқы кіріктірілген графтың әр төбесі дуал кіріктірудің аймағына сәйкес келеді, бастапқының әр қабырғасы дуалдың қабырғасымен қиылысады, ал бастапқының әр аймағы дуалдың төбесіне сәйкес келеді. Дуал граф бастапқы графтың қалай кіріктірілгеніне байланысты: бір графтың әртүрлі жазық кіріктірілуі әртүрлі дуал графтарға әкелуі мүмкін. Матроидтық дуалдық – жазық граф дуалдығының алгебралық кеңейтімі, яғни жазық графтың графикалық матроидінің дуал матроиді дуал графтың графикалық матроидіне изоморфты. Оптимизация теориясында да геометриялық дуалдықтың бір түрі кездеседі, бірақ ол өлшемдерді кері қайтармайды. Сызықтық бағдарлама нақты айнымалылар жүйесімен (Евклид кеңістігіндегі нүкте координаттары), сызықтық шектеулер жүйесімен (нүкте жарты кеңістікте жатқандығын көрсетеді; осы жарты кеңістіктердің қиылысы – бағдарламаның мүмкін болатын аймағы) және сызықтық функциямен (не оптималдастыру керек) анықталады. Кез келген сызықтық бағдарламада бірдей оңтайлы шешімі бар дуал проблема бар, бірақ дуал проблемадағы айнымалылар бастапқы проблемадағы шектеулерге сәйкес келеді және керісінше.
Екі нысан
Дуальділіктердің тобын кез келген математикалық объект X үшін, белгілі бір тұрақты объект D-ге, X-қа ұқсас құрылыммен морфизмдер жиынтығын жарақтандыру арқылы сипаттауға болады. Бұл кейде ішкі Hom деп аталады. Жалпы, мұндай жағдайда тек D-нің нақты таңдалуы ғана нақты дуальдік береді, онда ол X-тің дуалы деп аталады. X-тен екі рет дуальға (bidual) әрқашан бейнелеу бар, яғни дуалдың дуалына. Ол кейбір f-ке, кез келген бейнелеу g-ді (яғни, жиынтықтағы элементті) оның мәнімен байланыстыратын бейнелеуді тағайындайды. Нақты қарастырылып отырған дуальдікке және X объектісіне байланысты, бұл бейнелеу изоморфизм болуы немесе болмауы мүмкін.
It assigns to some the map that associates to any map (i. e., an element in ) the value Depending on the concrete duality considered and also depending on the object X, this map may or may not be an isomorphism.
Ішіндегі және ішкі өнім кеңістіктерінің изоморфизмдері
Егер V шекті өлшемді болса, V векторлық кеңістігі изоморфты болады. Бұл жағдайда, мұндай изоморфизм бұрылмалы екі сызықтық формаға тең. Осы жағдайда V ішкі көбейту кеңістігі деп аталады. Мысалы, егер K нақты немесе кешенді сандар өрісі болса, кез келген оң анықталған екі сызықтық форма мұндай изоморфизмді тудырады. Риман геометриясында V көпқырлының жанама кеңістігі ретінде қарастырылады және мұндай оң екі сызықтық формалар Риман метрикалары деп аталады. Олардың мақсаты бұрыштар мен қашықтықтарды өлшеу. Осылайша, дуалдық осы геометрия саласының негізгі құралы болып табылады. Ішкі көбейту кеңістіктерінің тағы бір қолданылуы – Ходж жұлдызы, ол сыртқы алгебра элементтері арасында сәйкестік орнатады. n өлшемді векторлық кеңістік үшін Ходж жұлдызы операторы k формаларын (n − k) формаларына бейнелейді. Бұл Максвелл теңдеулерін формулировать үшін қолданылуы мүмкін. Осылайша, ішкі көбейту кеңістігіне тән дуалдық магниттік және электр өрістерінің рөлін ауыстырады.
In this case V is called an inner product space. For example, if K is the field of real or complex numbers, any positive definite bilinear form gives rise to such an isomorphism. In Riemannian geometry, V is taken to be the tangent space of a manifold and such positive bilinear forms are called Riemannian metrics. Their purpose is to measure angles and distances. Thus, duality is a foundational basis of this branch of geometry. Another application of inner product spaces is the Hodge star which provides a correspondence between the elements of the exterior algebra. For an n dimensional vector space, the Hodge star operator maps k forms to (n − k) forms. This can be used to formulate Maxwell's equations. In this guise, the duality inherent in the inner product space exchanges the role of magnetic and electric fields.
Гомология және кохомология
Қызығушылық тудыратын белгілі бір объектілердің басқа қызығушылық тудыратын объектілердің қос кеңістігі (сызықтық алгебра мағынасында) екенін көрсететін теоремалар көбінесе дуалдықтар деп аталады. Осы дуалдықтардың көптеген түрлері екі K векторлық кеңістігінің A ⊗ B → K билинеарлық жұптасуы арқылы беріледі. Толық жұптасу жағдайында, A кеңістігі B кеңістігінің қос кеңістігімен изоморфты болады.
A ⊗ B → K.
For perfect pairings, there is, therefore, an isomorphism of A to the dual of B.
Алгебралық топологиядағы дуалдық
Джеймс С. Беккер және Дэниел Генри Готтлиб, Алгебралық топологиядағы қос ұғымның тарихы.