Неизмеримые множества в математике: наборы, которым нельзя присвоить объём. Существование таких множеств связано с аксиомой выбора и теорией вероятностей.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Множество, которому нельзя присвоить осмысленный "объем"
Set which cannot be assigned a meaningful "volume"
В математике, неизмеримое множество – это множество, которому нельзя присвоить осмысленный "объем". Математическое существование таких множеств используется для получения информации о понятиях длины, площади и объема в формальной теории множеств. В теории множеств Цермело — Френкеля аксиома выбора влечет за собой существование неизмеримых подмножеств ℝ. Понятие неизмеримого множества было предметом острых дискуссий с момента его введения. Исторически это побудило Бореля и Колмогорова к формулированию теории вероятностей на множествах, которые ограничены измеримостью. Измеримые множества на прямой представляют собой счетные объединения и пересечения интервалов (называемых множествами Бореля), дополненные или лишенные множеств меры нуль. Эти множества достаточно богаты, чтобы включать любое возможное определение множества, возникающее в стандартной математике, но для доказательства измеримости множеств требуется значительный формализм. В 1970 году Роберт М. Солоуэй построил модель Солоуэя, которая показывает, что это согласуется со стандартной теорией множеств без аксиомы счетного выбора, и что все подмножества действительных чисел измеримы. Однако результат Солоуэя зависит от существования недоступного кардинала, существование и непротиворечивость которого нельзя доказать в рамках стандартной теории множеств.
In mathematics, a non measurable set is a set which cannot be assigned a meaningful "volume". The mathematical existence of such sets is construed to provide information about the notions of length, area and volume in formal set theory. In Zermelo–Fraenkel set theory, the axiom of choice entails that non measurable subsets of exist. The notion of a non measurable set has been a source of great controversy since its introduction. Historically, this led Borel and Kolmogorov to formulate probability theory on sets which are constrained to be measurable. The measurable sets on the line are iterated countable unions and intersections of intervals (called Borel sets) plus minus null sets. These sets are rich enough to include every conceivable definition of a set that arises in standard mathematics, but they require a lot of formalism to prove that sets are measurable. In 1970, Robert M. Solovay constructed the Solovay model, which shows that it is consistent with standard set theory without uncountable choice, that all subsets of the reals are measurable. However, Solovay's result depends on the existence of an inaccessible cardinal, whose existence and consistency cannot be proved within standard set theory.
Исторические сооружения
Первым сигналом о возможной проблеме в определении длины для произвольного множества стала теорема Витали. Более поздняя комбинаторная конструкция, схожая с построением Робина Томаса не измеримого по Лебегу множества, но обладающая некоторыми дополнительными свойствами, появилась в журнале American Mathematical Monthly. Естественно ожидать, что мера объединения двух непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств. Мера, обладающая этим естественным свойством, называется конечно аддитивной. Хотя конечно аддитивной меры достаточно для большинства представлений об площади и она аналогична интегралу Римана, для теории вероятностей её считают недостаточной, поскольку современные подходы к последовательностям событий или случайным величинам требуют счётной аддитивности. В этом отношении плоскость аналогична прямой: существует конечно аддитивная мера, являющаяся расширением меры Лебега и инвариантная относительно всех изометрий. В пространствах более высокой размерности ситуация усугубляется. Парадоксы Хаусдорфа и Банаха-Тарского демонстрируют, что трёхмерный шар радиуса 1 можно разбить на 5 частей, из которых можно собрать два шара того же радиуса.
The first indication that there might be a problem in defining length for an arbitrary set came from Vitali's theorem. A more recent combinatorial construction which is similar to the construction by Robin Thomas of a non Lebesgue measurable set with some additional properties appeared in American Mathematical Monthly. One would expect the measure of the union of two disjoint sets to be the sum of the measure of the two sets. A measure with this natural property is called finitely additive. While a finitely additive measure is sufficient for most intuition of area, and is analogous to Riemann integration, it is considered insufficient for probability, because conventional modern treatments of sequences of events or random variables demand countable additivity. In this respect, the plane is similar to the line; there is a finitely additive measure, extending Lebesgue measure, which is invariant under all isometries. For higher dimensions the picture gets worse. The Hausdorff paradox and Banach–Tarski paradox show that a three dimensional ball of radius 1 can be dissected into 5 parts which can be reassembled to form two balls of radius 1.
Пример
Рассмотрим множество всех точек на единичной окружности и действие на нём группы, состоящей из всех рациональных поворотов (поворотов на углы, являющиеся рациональными кратами π). Здесь Q счетно (точнее, изоморфно Z), а R несчетно. Следовательно, окружность распадается на несчетное множество орбит под действием Q (орбита точки – счетное множество). Используя аксиому выбора, можно выбрать по одной точке из каждой орбиты, получив несчетное подмножество A, обладающее свойством, что все рациональные трансляты (смещения вида x + q для некоторых рациональных q) множества A по отношению к Q попарно не пересекаются (то есть не пересекаются с A и друг с другом). Множество этих транслятов разбивает окружность на счетное множество непересекающихся множеств, которые все попарно конгруэнтны (рациональными поворотами). Множество A будет неизмеримо для любой вращательно-инвариантной счетно-аддитивной меры вероятности на R: если A имеет нулевую меру, то счетная аддитивность влечет, что вся окружность имеет нулевую меру. Если A имеет положительную меру, то счетная аддитивность покажет, что окружность имеет бесконечную меру.
Consider the set of all points in the unit circle, and the action on by a group consisting of all rational rotations (rotations by angles which are rational multiples of ). Here is countable (more specifically, is isomorphic to ) while is uncountable. Hence breaks up into uncountably many orbits under (the orbit of is the countable set ). Using the axiom of choice, we could pick a single point from each orbit, obtaining an uncountable subset with the property that all of the rational translates (translated copies of the form for some rational ) of by are pairwise disjoint (meaning, disjoint from and from each other). The set of those translates partitions the circle into a countable collection of disjoint sets, which are all pairwise congruent (by rational rotations). The set will be non measurable for any rotation invariant countably additive probability measure on : if has zero measure, countable additivity would imply that the whole circle has zero measure. If has positive measure, countable additivity would show that the circle has infinite measure.