Введение

В математике теорема Минковского утверждает, что любое симметричное выпуклое множество в R^n с объемом, превышающим 2^n, содержит ненулевую точку с целыми координатами.

В математике теорема Минковского – это утверждение, что каждое выпуклое множество, симметричное относительно начала координат и имеющее объем больше 2^n, содержит ненулевую точку с целыми координатами (то есть точку, не являющуюся началом координат). Теорема была доказана Германом Минковским в 1889 году и стала основой раздела теории чисел, называемого геометрией чисел. Её можно обобщить на любые решетки и любые симметричные выпуклые множества с объемом больше, где обозначает кообъем решетки (абсолютное значение определителя любого её базиса).

Формулировка

Предположим, что L — решетка с детерминантом d(L) в n-мерном вещественном векторном пространстве, а S — выпуклое подмножество, симметричное относительно начала координат, то есть, если x принадлежит S, то −x также принадлежит S. Теорема Минковского утверждает, что если объем S строго больше 2^n * d(L), то S должно содержать по крайней мере одну точку решетки, отличную от начала координат. (Поскольку множество S симметрично, оно будет содержать по крайней мере три точки решетки: начало координат 0 и пару точек ±x, где x ∈ L \ {0}.)

Пример

Самый простой пример решетки — целочисленная решетка всех точек с целочисленными координатами; ее определитель равен 1. Для плоскости теорема утверждает, что выпуклая фигура в евклидовой плоскости, симметричная относительно начала координат и имеющая площадь больше 4, содержит как минимум одну точку решетки, помимо начала координат. Граница по площади является точной: если S — внутренняя область квадрата с вершинами (±1, ±1), то S симметрична и выпукла, имеет площадь 4, но единственной точкой решетки, которую она содержит, является начало координат. Этот пример, демонстрирующий точность границы теоремы, обобщается на гиперкубы в каждом измерении n.