Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Объемное пространство, ограниченное сферой.
Volume space bounded by a sphere
В математике шар — это объемное тело, ограниченное сферой; его также называют твердой сферой. Шар может быть замкнутым (включая граничные точки, составляющие сферу) или открытым (исключая их). Эти понятия определяются не только в трехмерном евклидовом пространстве, но и для пространств меньшей и большей размерности, а также для метрических пространств в общем случае. Шар в n-мерном пространстве называется гипершаром или n-шаром и ограничен гиперсферой или (n-1)-сферой. Таким образом, например, шар в евклидовой плоскости — это то же самое, что и круг, область, ограниченная окружностью. В трехмерном евклидовом пространстве шар понимается как объем, ограниченный двухмерной сферой. В одномерном пространстве шар — это отрезок прямой. В других контекстах, таких как евклидова геометрия и неформальное использование, термин «сфера» иногда используется для обозначения шара. В топологии замкнутый n-мерный шар часто обозначается как или , а открытый n-мерный шар — как или .
In mathematics, a ball is the solid figure bounded by a sphere; it is also called a solid sphere. It may be a closed ball (including the boundary points that constitute the sphere) or an open ball (excluding them). These concepts are defined not only in three dimensional Euclidean space but also for lower and higher dimensions, and for metric spaces in general. A ball in n dimensions is called a hyperball or n ball and is bounded by a hypersphere or (n−1) sphere. Thus, for example, a ball in the Euclidean plane is the same thing as a disk, the area bounded by a circle. In Euclidean 3 space, a ball is taken to be the volume bounded by a 2 dimensional sphere. In a one dimensional space, a ball is a line segment. In other contexts, such as in Euclidean geometry and informal use, sphere is sometimes used to mean ball. In the field of topology the closed dimensional ball is often denoted as or while the open dimensional ball is or .
В евклидовом пространстве
В евклидовом n-мерном пространстве (открытый) n-шар радиуса r с центром в точке x — это множество всех точек, расстояние от которых до x меньше r. Закрытый n-шар радиуса r — это множество всех точек, расстояние от которых до x меньше или равно r. В евклидовом n-мерном пространстве каждый шар ограничен гиперсферой. Шар является ограниченным интервалом при n = 1, диском, ограниченным окружностью, при n = 2, и сферой при n = 3.
In Euclidean n space, an (open) n ball of radius r and center x is the set of all points of distance less than r from x. A closed n ball of radius r is the set of all points of distance less than or equal to r away from x. In Euclidean n space, every ball is bounded by a hypersphere. The ball is a bounded interval when 1=n = 1, is a disk bounded by a circle when 1=n = 2, and is bounded by a sphere when 1=n = 3.
Общая выпуклая норма
Более общим образом, для любого центрально симметричного, ограниченного, открытого и выпуклого подмножества X в Rⁿ можно определить норму на Rⁿ, в которой шары являются трансляциями и равномерными масштабированиями X. Следует отметить, что эта теорема не верна, если "открытое" подмножество заменить на "закрытое", поскольку точка начала координат удовлетворяет этому условию, но не определяет норму на Rⁿ.
More generally, given any centrally symmetric, bounded, open, and convex subset X of 'R'^(n), one can define a norm on 'R'^(n) where the balls are all translated and uniformly scaled copies of X. Note this theorem does not hold if "open" subset is replaced by "closed" subset, because the origin point qualifies but does not define a norm on 'R'^(n).
В топологических пространствах
Можно говорить о шарах в любом топологическом пространстве X, не обязательно индуцированном метрикой. (Открытый или закрытый) n-мерный топологический шар в X – это любое подмножество X, гомеоморфное (открытому или закрытому) евклидову n-шару. Топологические n-шары важны в комбинаторной топологии как строительные блоки клеточных комплексов. Любой открытый топологический n-шар гомеоморфен картезианскому пространству Rⁿ и открытому единичному n-кубу (гиперкубу) (0, 1)ⁿ ⊆ Rⁿ. Любой закрытый топологический n-шар гомеоморфен закрытому n-кубу [0, 1]ⁿ. n-шар гомеоморфен m-шару тогда и только тогда, когда n = m. Гомеоморфизмы между открытым n-шаром B и Rⁿ можно классифицировать на два класса, которые можно отождествить с двумя возможными топологическими ориентациями B. Топологический n-шар не обязательно должен быть гладким; и если он гладкий, то он не обязательно должен быть диффеоморфным евклидову n-шару.
One may talk about balls in any topological space X, not necessarily induced by a metric. An (open or closed) n dimensional topological ball of X is any subset of X which is homeomorphic to an (open or closed) Euclidean n ball. Topological n balls are important in combinatorial topology, as the building blocks of cell complexes. Any open topological n ball is homeomorphic to the Cartesian space 'R'^(n) and to the open unit n cube (hypercube) (0, 1)^(n) ⊆ 'R'^(n). Any closed topological n ball is homeomorphic to the closed n cube [0, 1]^(n). An n ball is homeomorphic to an m ball if and only if 1=n = m. The homeomorphisms between an open n ball B and 'R'^(n) can be classified in two classes, that can be identified with the two possible topological orientations of B. A topological n ball need not be smooth; if it is smooth, it need not be diffeomorphic to a Euclidean n ball.