Математический анализ действительных чисел и функций

Введение

Математика действительных чисел и действительных функций
В математике раздел математического анализа изучает поведение действительных чисел, последовательностей и рядов действительных чисел, а также действительных функций. К числу конкретных свойств последовательностей и функций с действительными значениями, которые изучает математический анализ, относятся сходимость, пределы, непрерывность, гладкость, дифференцируемость и интегрируемость. Математический анализ отличается от комплексного анализа, который посвящен изучению комплексных чисел и функций комплексного переменного.

Конструирование действительных чисел

Теоремы вещественного анализа опираются на свойства системы вещественных чисел, которые необходимо установить. Система вещественных чисел состоит из несчетного множества, вместе с двумя бинарными операциями, обозначаемыми + и ⋅, и отношением полного порядка, обозначаемым ≤. Эти операции делают вещественные числа полем, а вместе с отношением порядка – упорядоченным полем. Система вещественных чисел является единственным полным упорядоченным полем, в том смысле, что любое другое полное упорядоченное поле изоморфно ему. Интуитивно, полнота означает отсутствие «разрывов» (или «дыр») в вещественных числах. Это свойство отличает вещественные числа от других упорядоченных полей (например, рациональных чисел) и имеет решающее значение для доказательства ряда ключевых свойств функций вещественного аргумента. Полнота вещественных чисел часто удобно выражается через свойство наименьшей верхней границы (см. ниже).

Свойства порядка действительных чисел

Реальные числа обладают различными свойствами теории решеток, которых нет у комплексных чисел. Кроме того, действительные числа образуют упорядоченное поле, в котором суммы и произведения положительных чисел также положительны. Более того, упорядочение действительных чисел является полным, и действительные числа обладают свойством наименьшей верхней границы: любое непустое подмножество, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу, которая также является действительным числом. Эти свойства упорядочения приводят к ряду фундаментальных результатов в математическом анализе, таких как теорема о монотонной сходимости, теорема о промежуточном значении и теорема о среднем значении. Однако, хотя результаты математического анализа сформулированы для действительных чисел, многие из этих результатов можно обобщить на другие математические объекты. В частности, многие идеи в функциональном анализе и теории операторов обобщают свойства действительных чисел – такие обобщения включают теории пространств Рисса и положительных операторов. Также математики рассматривают действительные и мнимые части комплексных последовательностей или используют точечную оценку последовательностей операторов.

Топологические свойства действительных чисел

Многие теоремы вещественного анализа являются следствием топологических свойств числовой прямой. Описанные выше свойства упорядочения вещественных чисел тесно связаны с этими топологическими свойствами. Как топологическое пространство, вещественные числа обладают стандартной топологией, которая является топологией порядка, индуцированной отношением порядка. Альтернативно, определяя метрику или функцию расстояния с использованием функции абсолютной величины как <math>d(x, y) = |x - y|</math>, вещественные числа становятся прототипическим примером метрического пространства. Топология, индуцированная метрикой, оказывается идентичной стандартной топологии, индуцированной отношением порядка. Теоремы, такие как теорема о промежуточном значении, которые по своей сути являются топологическими, часто могут быть доказаны в более общем контексте метрических или топологических пространств, а не только в вещественных числах. Часто такие доказательства оказываются короче или проще по сравнению с классическими доказательствами, использующими прямые методы.

Однородная и точечная конвергенция для последовательностей функций

Помимо последовательностей чисел, можно также говорить о последовательностях функций на , то есть бесконечных упорядоченных семействах функций , обозначаемых , и их свойствах сходимости. Однако в случае последовательностей функций существует два вида сходимости, известных как поточечная и равномерная сходимость, которые необходимо различать. Грубо говоря, поточечная сходимость функций к предельной функции , обозначаемая , просто означает, что для любого , как . В отличие от этого, равномерная сходимость является более сильным типом сходимости, в том смысле, что равномерно сходящаяся последовательность функций также сходится поточечно, но не наоборот. Для равномерной сходимости семейства функций, иногда обозначаемой , необходимо, чтобы для любого заданного , независимо от того, насколько оно мало, существовало такое целое , что для всех . Интуитивно мы можем представить эту ситуацию, вообразив, что для достаточно большого , все функции ограничены полосой шириной около (то есть между и) для каждого значения из их области определения. Различие между поточечной и равномерной сходимостью важно, когда требуется поменять порядок двух предельных операций (например, взятия предела, производной или интеграла): для корректного обмена порядка многие теоремы вещественного анализа требуют равномерной сходимости. Например, последовательность непрерывных функций (см. ниже) гарантированно сходится к непрерывной предельной функции, если сходимость равномерная, в то время как предельная функция может быть не непрерывной, если сходимость только поточечная. Карлу Вейерштрассу обычно приписывают четкое определение понятия равномерной сходимости и полное исследование ее следствий.

Компактность

Компактность — это понятие из общей топологии, которое играет важную роль во многих теоремах реального анализа. Свойство компактности является обобщением понятия множества, являющегося замкнутым и ограниченным. (В контексте реального анализа эти понятия эквивалентны: множество в евклидовом пространстве компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.) Вкратце, замкнутое множество содержит все свои граничные точки, а множество ограничено, если существует действительное число, такое что расстояние между любыми двумя точками множества меньше этого числа. В ℝ, множества, которые замкнуты и ограничены, и, следовательно, компактны, включают пустое множество, любое конечное число точек, замкнутые интервалы и их конечные объединения. Однако этот список не является исчерпывающим; например, множество [0,1] является компактным множеством; тройное множество Кантора — еще один пример компактного множества. С другой стороны, множество (0,1) не компактно, потому что оно ограничено, но не замкнуто, поскольку граничная точка 0 не является элементом множества. Множество ℝ также не компактно, потому что оно замкнуто, но не ограничено. Для подмножеств действительных чисел существует несколько эквивалентных определений компактности.

Определение. Множество является компактным, если оно замкнуто и ограничено. Это определение также применимо к евклидову пространству любой конечной размерности, ℝⁿ, но не применимо к метрическим пространствам в общем случае. Эквивалентность этого определения определению компактности, основанному на подпокрытиях, приведенному позже в этом разделе, известна как теорема Хайне — Бореля. Более общее определение, которое применяется ко всем метрическим пространствам, использует понятие подпоследовательности (см. выше).

Определение. Множество в метрическом пространстве компактно, если любая последовательность в нем имеет сходящуюся подпоследовательность. Это свойство известно как последовательная компактность. В ℝ, множество является последовательно компактным тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено, что делает это определение эквивалентным приведенному выше. Последовательная компактность эквивалентна определению компактности, основанному на подпокрытиях для метрических пространств, но не для топологических пространств в общем случае. Наиболее общее определение компактности основывается на понятии открытых покрытий и подпокрытий, которое применимо к топологическим пространствам (и, следовательно, к метрическим пространствам и ℝ как к частным случаям).

Коллекция открытых множеств называется открытым покрытием множества, если объединение этих множеств является надмножеством этого множества. Открытое покрытие называется имеющим конечное подпокрытие, если можно найти конечное подмножество из этих множеств, которое также покрывает множество.

Определение. Множество в топологическом пространстве компактно, если любое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Компактные множества хорошо ведут себя по отношению к свойствам, таким как сходимость и непрерывность. Например, любая последовательность Коши в компактном метрическом пространстве сходится. В качестве другого примера, образ компактного метрического пространства при непрерывном отображении также компактен.

Непрерывность

Функция от множества действительных чисел к действительным числам может быть представлена графиком в декартовой плоскости; такая функция непрерывна, если, грубо говоря, график представляет собой одну неразрывную кривую без "дыр" или "скачков". Существует несколько способов сделать эту интуицию математически строгой. Можно дать несколько определений различной степени общности. В случаях, когда применимо два или более определений, они легко доказываются эквивалентными друг другу, поэтому наиболее удобное определение может быть использовано для определения, является ли данная функция непрерывной или нет. В первом определении, приведенном ниже, – это функция, определенная на недегенерированном интервале множества действительных чисел в качестве области определения. Некоторые возможности включают , все множество действительных чисел, открытый интервал или закрытый интервал . Здесь, и – различные действительные числа, и мы исключаем случай, когда пусто или состоит только из одной точки, в частности. Определение. Если – недегенерированный интервал, мы говорим, что непрерывна в точке , если . Мы говорим, что – непрерывное отображение, если непрерывна в каждой точке . В отличие от требований к тому, чтобы имела предел в точке , которые не ограничивают поведение самой в этой точке, следующие два условия, в дополнение к существованию , также должны выполняться для того, чтобы была непрерывной в : (i) должна быть определена в точке , то есть принадлежит области определения ; и (ii) при . Вышеописанное определение фактически применимо к любой области определения , которая не содержит изолированную точку, или, эквивалентно, где каждая точка является предельной точкой . Более общее определение, применимое к с общей областью определения , следующее: Определение. Если – произвольное подмножество , мы говорим, что непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для всех , влечет за собой, что . Мы говорим, что – непрерывное отображение, если непрерывна в каждой точке . Следствием этого определения является то, что тривиально непрерывна в любой изолированной точке . Это несколько неинтуитивное отношение к изолированным точкам необходимо для обеспечения того, чтобы наше определение непрерывности для функций на действительной прямой соответствовало наиболее общему определению непрерывности для отображений между топологическими пространствами (которое включает метрические пространства и в частности, как частные случаи). Это определение, которое выходит за рамки нашего обсуждения математического анализа, приведено ниже для полноты. Определение. Если и – топологические пространства, мы говорим, что непрерывна в точке , если является окрестностью точки в для каждой окрестности точки в . Мы говорим, что – непрерывное отображение, если открыта в для каждого открытого множества в . (Здесь, обозначает прообраз при отображении .)

Однородная преемственность

Определение. Если является подмножеством действительных чисел, мы говорим, что функция f равномерно непрерывна на множестве E, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, y ∈ E, |x - y| < δ подразумевает, что |f(x) - f(y)| < ε.
Явно, когда функция равномерно непрерывна на E, выбор δ, необходимый для выполнения определения, должен работать для всех x и y из E для данного ε. Напротив, когда функция непрерывна в каждой точке (или говорят, что она непрерывна на E), выбор δ может зависеть как от ε, так и от x. В отличие от обычной непрерывности, равномерная непрерывность является свойством функции, которое имеет смысл только с заданной областью определения; говорить о равномерной непрерывности в одной точке бессмысленно. На компактном множестве легко показать, что все непрерывные функции равномерно непрерывны. Если E – ограниченное некомпактное подмножество ℝ, то существует функция, которая непрерывна, но не равномерно непрерывна. В качестве простого примера рассмотрим функцию f(x) = 1/x, определенную на (0, 1]. Выбирая точки, близкие к 0, мы всегда можем сделать |f(x) - f(y)| сколь угодно большим для любого фиксированного δ и данного ε.

Серия Фурье

Ряд Фурье раскладывает периодические функции или периодические сигналы в сумму (возможно, бесконечного) набора простых колебательных функций, а именно синусов и косинусов (или комплексных экспонент). Изучение рядов Фурье обычно рассматривается и изучается в области математики, а именно в математическом анализе и анализе Фурье.

Интеграция

Интеграция – это формализация задачи нахождения площади, ограниченной кривой, и связанных с ней задач определения длины кривой или объема, заключенного поверхностью. Основная стратегия решения задач такого типа была известна древним грекам и китайцам и называлась методом исчерпывания. В общем случае, искомая площадь ограничена сверху и снизу, соответственно, все более точными описанными и вписанными многоугольными аппроксимациями, точные площади которых могут быть вычислены. Рассматривая аппроксимации, состоящие из все большего и большего ("бесконечного") числа все меньших и меньших ("бесконечно малых") элементов, можно определить площадь, ограниченную кривой, поскольку верхняя и нижняя границы, задаваемые аппроксимациями, сходятся к общему значению. Суть этой основной стратегии легко прослеживается в определении интеграла Римана, в котором говорится, что интеграл существует, если верхние и нижние суммы Римана (или Дарбукса) сходятся к общему значению при рассмотрении все более тонких прямоугольных сечений ("уточнения"). Хотя аппарат, используемый для его определения, гораздо сложнее, чем в интеграле Римана, интеграл Лебега был определен, исходя из схожих базовых идей. По сравнению с интегралом Римана, более сложный интеграл Лебега позволяет определить и вычислить площадь (или длину, объем и т.д.; в общем случае называемую "мерой") для гораздо более сложных и нерегулярных подмножеств евклидова пространства, хотя все еще существуют "неизмеримые" подмножества, для которых площадь не может быть определена.

Интеграция Римана

Римановский интеграл определяется в терминах сумм Римана функций относительно помеченных разбиений интервала. Пусть – замкнутый интервал на вещественной прямой; тогда помеченное разбиение интервала – это конечная последовательность

Это разбивает интервал на подинтервалов, индексированных , каждый из которых "маркирован" выделенной точкой. Для функции , ограниченной на , мы определяем сумму Римана функции относительно помеченного разбиения как

где – ширина подинтервала . Таким образом, каждый член суммы представляет собой площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в выделенной точке данного подинтервала, и шириной, равной ширине подинтервала. Меш (или шаг) такого помеченного разбиения – это ширина наибольшего подинтервала, образованного разбиением. Мы говорим, что интеграл Римана функции на равен , если для любого существует такое, что для любого помеченного разбиения с шагом , у нас есть

Это иногда обозначается . Когда выбранные точки маркировки дают максимальное (соответственно, минимальное) значение на каждом интервале, сумма Римана называется верхней (соответственно, нижней) суммой Дарбу. Функция называется интегрируемой по Дарбу, если верхние и нижние суммы Дарбу могут быть сделаны сколь угодно близкими друг к другу при достаточно малом шаге разбиения. Хотя это определение придает интегралу Дарбу вид частного случая интеграла Римана, они на самом деле эквивалентны в том смысле, что функция интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда она интегрируема по Риману, и значения интегралов равны. Фактически, учебники по математическому анализу и вещественному анализу часто смешивают эти два понятия, представляя определение интеграла Дарбу как определение интеграла Римана из-за немного более простого в применении определения первого. Основная теорема исчисления утверждает, что интегрирование и дифференцирование являются обратными операциями в определенном смысле.

Интеграция и мера Лебежа

Интеграл Лебега — это математическая конструкция, расширяющая понятие интеграла на более широкий класс функций и области, на которых эти функции могут быть определены. Понятие меры, являющееся обобщением длины, площади или объема, играет центральную роль в теории вероятностей, основанной на интеграле Лебега.

Распространение

Распределения (или обобщённые функции) — это объекты, обобщающие функции. Распределения позволяют дифференцировать функции, производные которых не существуют в классическом понимании. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет обобщённую производную.

Связь с комплексным анализом

Реальный анализ — это область математического анализа, изучающая такие понятия, как последовательности и их пределы, непрерывность, дифференцирование, интегрирование и последовательности функций. По определению, реальный анализ фокусируется на действительных числах, часто включая положительную и отрицательную бесконечность для формирования расширенной действительной прямой. Реальный анализ тесно связан с комплексным анализом, который изучает в основном те же свойства комплексных чисел. В комплексном анализе естественно определять дифференцирование через голоморфные функции, обладающие рядом полезных свойств, таких как многократная дифференцируемость, представление в виде степенных рядов и удовлетворение формуле Коши. В реальном анализе обычно более естественно рассматривать дифференцируемые, гладкие или гармонические функции, которые имеют более широкое применение, но могут не обладать некоторыми более сильными свойствами голоморфных функций. Однако, такие результаты, как основная теорема алгебры, проще выразить в терминах комплексных чисел. Методы теории аналитических функций комплексной переменной часто используются в реальном анализе, например, для вычисления действительных интегралов с помощью теории вычетов.

Важные результаты

Важные результаты включают теоремы Болцано — Вейерштрасса и Хайне — Бореля, теорему о промежуточном значении и теорему о среднем значении, теорему Тейлора, основную теорему исчисления, теорему Арцела — Асколи, теорему Стоуна — Вейерштрасса, лемму Фату, а также теоремы о монотонной сходимости и доминирующей сходимости.

Обобщения и смежные области математики

Различные идеи из реального анализа могут быть обобщены от вещественной прямой к более широким или абстрактным контекстам. Эти обобщения связывают реальный анализ с другими дисциплинами и поддисциплинами. Например, обобщение таких понятий, как непрерывные функции и компактность, из реального анализа на метрические и топологические пространства связывает реальный анализ с общей топологией, а обобщение конечномерных евклидовых пространств на бесконечномерные аналоги привело к понятиям банаховых и гильбертовых пространств и, в более общем смысле, к функциональному анализу. Исследование Георгом Кантором множеств и последовательностей вещественных чисел, отображений между ними и фундаментальных вопросов реального анализа положило начало наивной теории множеств. Изучение вопросов сходимости для последовательностей функций в конечном итоге привело к возникновению анализа Фурье как поддисциплины математического анализа. Исследование последствий обобщения дифференцируемости от функций вещественной переменной на функции комплексной переменной привело к понятию голоморфных функций и становлению комплексного анализа как отдельной поддисциплины анализа. С другой стороны, обобщение интеграла от риманова понимания к лебегову привело к формулированию понятия абстрактных мерных пространств – фундаментального понятия в теории меры. Наконец, обобщение интеграла от вещественной прямой на кривые и поверхности в пространстве более высоких размерностей привело к изучению векторного исчисления, дальнейшее обобщение и формализация которого сыграли важную роль в эволюции понятий дифференциальных форм и гладких (дифференцируемых) многообразий в дифференциальной геометрии и других тесно связанных областях геометрии и топологии.