Геометрическая топология: изучение многообразий и отображений

Введение

Отрасль математики, изучающая (гладкие) функции многообразий.

В математике геометрическая топология изучает многообразия и отображения между ними, в особенности вложения одного многообразия в другое.

История

Геометрическая топология как область, отличная от алгебраической топологии, берет свое начало в классификации линзовых пространств, выполненной в 1935 году с использованием торсий Рейдемейстера, которая требовала различать пространства, гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные. Это положило начало простой теории гомотопии. Использование термина "геометрическая топология" для обозначения этих исследований появилось относительно недавно.

Различия между низкомерной и высокомерной топологией

Многообразия радикально отличаются по поведению в высоких и низких размерностях. Высокоразмерная топология относится к многообразиям размерности 5 и выше, или, в относительных терминах, к вложениям в коразмерность 3 и выше. Низкоразмерная топология занимается вопросами в размерностях до 4, или вложениями в коразмерность до 2. Размерность 4 является особенной, поскольку в некоторых аспектах (топологически) она относится к высоким размерностям, а в других (дифференцируемо) – к низким; это перекрытие порождает феномены, уникальные для размерности 4, такие как экзотические дифференцируемые структуры на R4. Таким образом, топологическая классификация 4-многообразий в принципе разрешима, и ключевые вопросы таковы: допускает ли топологическое многообразие дифференцируемую структуру, и если да, то сколько? Важно отметить, что гладкий случай размерности 4 является последним нерешенным случаем обобщенной гипотезы Пуанкаре; см. скрутки Глюка. Различие заключается в том, что теория хирургий работает в размерности 5 и выше (фактически, во многих случаях она работает топологически в размерности 4, хотя это очень сложно доказать), и, следовательно, поведение многообразий в размерности 5 и выше можно изучать, используя программу теории хирургий. В размерности 4 и ниже (топологически, в размерности 3 и ниже) теория хирургий не работает. Действительно, один из подходов к обсуждению низкоразмерных многообразий состоит в том, чтобы спросить: «Что предсказывала бы теория хирургий, если бы она работала?» – а затем понимать низкоразмерные явления как отклонения от этого. Точная причина различия в размерности 5 заключается в том, что теорема Уитни о вложении, ключевой технический прием, лежащий в основе теории хирургий, требует 2+1 размерностей. Грубо говоря, прием Уитни позволяет «развязать» заузленные сферы – точнее, удалить самопересечения погружений; это делается посредством гомотопии диска – диск имеет 2 измерения, а гомотопия добавляет еще 1 – и, таким образом, в коразмерности больше 2 это можно сделать без самопересечений; следовательно, вложения в коразмерности больше 2 можно понять с помощью хирургий. В теории хирургий ключевой шаг происходит в средней размерности, и, следовательно, когда средняя размерность имеет коразмерность больше 2 (в широком смысле достаточно 2½, следовательно, общей размерности 5 достаточно), прием Уитни работает. Ключевым следствием этого является теорема Смаля о h-кобордизме, которая работает в размерности 5 и выше и составляет основу теории хирургий. Модификация приема Уитни может работать в 4 измерениях и называется ручками Кассона – поскольку не хватает размерностей, диск Уитни вносит новые изгибы, которые можно разрешить другим диском Уитни, что приводит к последовательности («башне») дисков. Предел этой башни дает топологическое, но не дифференцируемое отображение, следовательно, хирургия работает топологически, но не дифференцируемо в размерности 4.

Manifolds differ radically in behavior in high and low dimension. High dimensional topology refers to manifolds of dimension 5 and above, or in relative terms, embeddings in codimension 3 and above. Low dimensional topology is concerned with questions in dimensions up to 4, or embeddings in codimension up to 2. Dimension 4 is special, in that in some respects (topologically), dimension 4 is high dimensional, while in other respects (differentiably), dimension 4 is low dimensional; this overlap yields phenomena exceptional to dimension 4, such as exotic differentiable structures on R4. Thus the topological classification of 4 manifolds is in principle tractable, and the key questions are: does a topological manifold admit a differentiable structure, and if so, how many? Notably, the smooth case of dimension 4 is the last open case of the generalized Poincaré conjecture; see Gluck twists. The distinction is because surgery theory works in dimension 5 and above (in fact, in many cases, it works topologically in dimension 4, though this is very involved to prove), and thus the behavior of manifolds in dimension 5 and above may be studied using the surgery theory program. In dimension 4 and below (topologically, in dimension 3 and below), surgery theory does not work. Indeed, one approach to discussing low dimensional manifolds is to ask "what would surgery theory predict to be true, were it to work?" – and then understand low dimensional phenomena as deviations from this. The precise reason for the difference at dimension 5 is because the Whitney embedding theorem, the key technical trick which underlies surgery theory, requires 2+1 dimensions. Roughly, the Whitney trick allows one to "unknot" knotted spheres – more precisely, remove self intersections of immersions; it does this via a homotopy of a disk – the disk has 2 dimensions, and the homotopy adds 1 more – and thus in codimension greater than 2, this can be done without intersecting itself; hence embeddings in codimension greater than 2 can be understood by surgery. In surgery theory, the key step is in the middle dimension, and thus when the middle dimension has codimension more than 2 (loosely, 2½ is enough, hence total dimension 5 is enough), the Whitney trick works. The key consequence of this is Smale's h cobordism theorem, which works in dimension 5 and above, and forms the basis for surgery theory. A modification of the Whitney trick can work in 4 dimensions, and is called Casson handles – because there are not enough dimensions, a Whitney disk introduces new kinks, which can be resolved by another Whitney disk, leading to a sequence ("tower") of disks. The limit of this tower yields a topological but not differentiable map, hence surgery works topologically but not differentiably in dimension 4.

Основная группа

Во всех измерениях фундаментальная группа многообразия является очень важным инвариантом и определяет значительную часть его структуры; в измерениях 1, 2 и 3 возможные фундаментальные группы ограничены, а в измерении 4 и выше любая конечно представленная группа является фундаментальной группой некоторого многообразия (стоит отметить, что достаточно доказать это для 4- и 5-мерных многообразий, а затем брать произведения с сферами для получения многообразий более высоких размерностей).

Ориентационность

Многообразие называется ориентируемым, если для него существует согласованный выбор ориентации, а связное ориентируемое многообразие имеет ровно две различные возможные ориентации. В зависимости от конкретной задачи и требуемой степени общности, можно предложить различные эквивалентные формулировки ориентируемости. Для общих топологических многообразий часто используются методы гомологической теории, в то время как для дифференцируемых многообразий имеется больше структуры, позволяющей сформулировать понятие ориентируемости в терминах дифференциальных форм. Важным обобщением понятия ориентируемости пространства является ориентируемость семейства пространств, параметризованного другим пространством (волоконным расслоением), для которого необходимо выбрать ориентацию в каждом из пространств, изменяющуюся непрерывно при изменении значений параметров.

Местная плоскость

Местная плоскость — это свойство подмногообразия в топологическом многообразии большей размерности. В категории топологических многообразий локально плоские подмногообразия играют роль, аналогичную роли вложенных подмногообразий в категории гладких многообразий. Пусть d-мерное многообразие N вложено в n-мерное многообразие M (где d < n). Мы говорим, что N локально плоская в точке x, если существует окрестность точки x, такая что топологическая пара (U, N ∩ U) гомеоморфна паре (V, R^d), со стандартным включением R^d как подпространства V. То есть, существует гомеоморфизм f: U → V, такой что образ f совпадает с N ∩ U.

Теоремы Шёнфлиса

Теорема обобщенного Шенфлайса утверждает, что если (n − 1)-мерная сфера S вложена в n-мерную сферу Sn локально плоским образом (то есть, вложение продолжается на толщенную сферу), то пара (Sn, S) гомеоморфна паре (Sn, Sn−1), где Sn−1 является экватором n-сферы. Браун и Мазур были удостоены премии Веблена за их независимые доказательства этой теоремы.

Теория узлов

Теория узлов – это изучение математических узлов. Хотя она вдохновлена узлами, встречающимися в повседневной жизни, например, в шнурках и веревках, математический узел отличается тем, что его концы соединены вместе, и его нельзя развязать. В математических терминах, узел – это вложение окружности в трехмерное евклидово пространство, R3 (поскольку мы используем топологию, окружность не ограничивается классическим геометрическим понятием, а включает все её гомеоморфизмы). Два математических узла считаются эквивалентными, если один можно преобразовать в другой посредством деформации пространства R3 самого на себя (известной как окружающая изотопия); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной нитью, которые не включают разрезание нити или её прохождение сквозь саму себя. Для более глубокого понимания математики обобщили понятие узла несколькими способами. Узлы можно рассматривать в других трехмерных пространствах, а также использовать объекты, отличные от окружностей; см. статью «Узел (математика)». Многомерные узлы – это n-мерные сферы в m-мерном евклидовом пространстве.

Высокомерная геометрическая топология

В высокоразмерной топологии характеристические классы являются фундаментальным инвариантом, а теория хирургий – ключевой теорией. Характерный класс – это способ сопоставить каждому главному расслоению на топологическом пространстве X класс когомологий X. Этот класс когомологий измеряет степень "скрученности" расслоения, в частности, наличие у него сечений. Иными словами, характеристические классы – это глобальные инварианты, измеряющие отклонение локальной структуры произведения от глобальной структуры произведения. Они являются одним из объединяющих геометрических понятий в алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии. Теория хирургий – это совокупность методов, используемых для получения одного многообразия из другого "контролируемым" образом. Хирургия подразумевает вырезание частей многообразия и замену их частями другого многообразия, состыкуемыми вдоль разреза или границы. Это тесно связано, но не идентично, разложениям на тела-ручки. Это важнейший инструмент в изучении и классификации многообразий размерности больше 3. Более технически, идея состоит в том, чтобы начать с хорошо изученного многообразия M и провести на нём хирургию, чтобы получить многообразие M′, обладающее некоторым желаемым свойством, таким образом, чтобы были известны эффекты на гомологию, гомотопические группы или другие интересные инварианты многообразия. Классификация экзотических сфер привела к тому, что теория хирургий стала основным инструментом в высокоразмерной топологии.