Введение

Парадокс теории вероятностей, другие парадоксы Джозефа Бертрана. Парадокс Бертрана — это проблема в рамках классической интерпретации теории вероятностей. Джозеф Бертран представил его в своей работе «Calcul des probabilités» (1889) в качестве примера, демонстрирующего, что принцип безразличия может не приводить к однозначным и чётко определённым результатам для вероятностей, если он применяется некритически при бесконечном множестве возможностей.

Классическое решение

Классическое решение проблемы (представленное, например, в собственной работе Бертрана) зависит от способа, которым выбирается случайная хорда.

Решение Джейнса, использующее принцип "максимального невежества"

В своей статье 1973 года "The Well Posed Problem" Эдвин Джейнс предложил решение парадокса Бертрана, основанное на принципе "максимального незнания" — мы не должны использовать никакой информации, которая не приведена в формулировке проблемы. Джейнс указал, что проблема Бертрана не определяет положение или размер круга и утверждал, что поэтому любое определенное и объективное решение должно быть "нечувствительно" к размеру и положению. Другими словами: решение должно быть инвариантным как относительно масштабирования, так и относительно сдвига. Для иллюстрации: предположим, что хорды случайным образом накладываются на круг диаметром 2, например, бросая на него палочки издалека и превращая их в хорды путем удлинения/сокращения. Теперь в больший круг помещается другой круг меньшего диаметра (например, 1.1). Тогда распределение хорд на этом меньшем круге должно быть таким же, как и ограниченное распределение хорд на большем круге (опять же, используя удлинение/сокращение генерирующих палочек). Таким образом, если меньший круг перемещается внутри большего круга, ограниченное распределение не должно меняться. Легко увидеть, что для метода 3 произойдет изменение: распределение хорд на маленьком красном круге качественно отличается от распределения на большом круге: то же самое происходит для метода 1, хотя это сложнее заметить графически. Метод 2 — единственный, который является инвариантным как относительно масштабирования, так и относительно сдвига; метод 3 — лишь инвариантен относительно масштабирования, метод 1 — не инвариантен ни к одному из них. Однако Джейнс не просто использовал инвариантность для принятия или отклонения данных методов: это оставляло бы возможность существования другого, еще не описанного метода, который бы соответствовал его критериям здравого смысла. Джейнс использовал интегральные уравнения, описывающие инвариантность, для непосредленного определения распределения вероятностей. В этой задаче интегральные уравнения действительно имеют единственное решение, и это именно то, что было названо "методом 2" выше, методом случайного радиуса. В статье 2015 года Алон Дрори утверждал, что принцип Джейнса также может привести к двум другим решениям Бертрана. Дрори утверждает, что математическая реализация вышеуказанных свойств инвариантности не является уникальной, а зависит от базовой процедуры случайного выбора, которую использует наблюдатель (как упоминалось выше, Джейнс использовал метод бросания палочек для выбора случайных хорд). Он показывает, что каждое из трех решений Бертрана может быть получено с использованием вращательной, масштабной и сдвиговой инвариантности, заключая, что принцип Джейнса подлежит интерпретации в той же степени, что и сам принцип безразличия. Например, мы можем представить бросание дротика в круг и проведение хорды, имеющей выбранную точку в качестве центра. Тогда единственное распределение, которое является инвариантным относительно сдвига, вращения и масштабирования, — это то, что было названо "методом 3" выше. Аналогично, "метод 1" является единственным инвариантным распределением для сценария, в котором спиннер используется для выбора одной конечной точки хорды, а затем снова используется для выбора ее ориентации. Здесь рассматриваемая инвариантность состоит из вращательной инвариантности для каждого из двух вращений. Это также единственное распределение, инвариантное относительно масштабирования и вращения, для сценария, в котором стержень помещается вертикально над точкой на окружности круга и ему позволяется упасть в горизонтальное положение (при условии, что он частично попадает внутрь круга).

Физические эксперименты

"Метод 2" – единственное решение, которое удовлетворяет инвариантам преобразований, присутствующим в определенных физических системах, таких как статистическая механика и физика газов, в конкретном случае эксперимента, предложенного Джейнсом, по бросанию соломинок с расстояния на маленький круг. Тем не менее, можно разработать другие практические эксперименты, дающие ответы, соответствующие другим методам. Например, чтобы получить решение "метода 1", метода случайных конечных точек, можно закрепить вращающийся указатель в центре круга и позволить результатам двух независимых вращений определить концы хорды. Чтобы получить решение "метода 3", можно покрыть круг патокой и отметить первую точку, на которую сядет муха, как середину хорды. Несколько исследователей разработали эксперименты для получения различных решений и эмпирически подтвердили результаты.