Введение
Теоремы, помогающие разложить конечную группу на простые множители её порядка.
В математике, в частности в теории конечных групп, теоремы Силоу — это набор теорем, названных в честь норвежского математика Петера Людвига Силова, которые предоставляют подробную информацию о количестве подгрупп фиксированного порядка, содержащихся в данной конечной группе. Теоремы Силоу являются фундаментальной частью теории конечных групп и имеют важное применение в классификации конечных простых групп. Для простого числа *p*, подгруппа Силоу *p* (иногда *p*-Силоу подгруппа) группы *G* является максимальной *p*-подгруппой *G*, то есть подгруппой *G*, которая является *p*-группой (то есть её порядок является степенью *p*, или, эквивалентно, порядок каждого элемента группы является степенью *p*) и не является собственной подгруппой какой-либо другой *p*-подгруппы *G*. Множество всех подгрупп Силоу для данного простого числа *p* иногда обозначается как Syl<sub>*p*</sub>(*G*). Теоремы Силоу утверждают частное обратное к теореме Лагранжа. Теорема Лагранжа утверждает, что для любой конечной группы *G* порядок (количество элементов) каждой подгруппы *G* делит порядок *G*. Теоремы Силоу утверждают, что для каждого простого множителя *p* порядка конечной группы *G*, существует подгруппа Силоу *p* группы *G* порядка *p<sup>k</sup>*, где *k* — наибольшая степень *p*, делящая порядок *G*. Более того, каждая подгруппа порядка *p<sup>k</sup>* является подгруппой Силоу *p* группы *G*, а подгруппы Силоу *p* группы *G* (для данного простого *p*) сопряжены друг другу. Кроме того, число подгрупп Силоу *p* группы *G* для данного простого *p* сравнимо с 1 по модулю *p*.
The Sylow theorems assert a partial converse to Lagrange's theorem. Lagrange's theorem states that for any finite group the order (number of elements) of every subgroup of divides the order of The Sylow theorems state that for every prime factor of the order of a finite group , there exists a Sylow subgroup of of order , the highest power of that divides the order of Moreover, every subgroup of order is a Sylow subgroup of , and the Sylow subgroups of a group (for a given prime ) are conjugate to each other. Furthermore, the number of Sylow subgroups of a group for a given prime is congruent to 1 (mod ).
Мотивация
Теоремы Силоу — это мощное утверждение об общей структуре групп, но они также эффективны при применении теории конечных групп. Это связано с тем, что они предоставляют метод использования простого разложения кардинальности конечной группы для получения утверждений о структуре её подгрупп: по сути, это способ перенести фундаментальную информацию из теории чисел о группе в её групповую структуру. Исходя из этого наблюдения, классификация конечных групп превращается в задачу поиска комбинаций и конструкций групп меньшего порядка, которые можно использовать для построения группы. Например, типичное применение этих теорем заключается в классификации конечных групп заданной кардинальности, например…
Заявление
Коллекции подгрупп, каждая из которых максимальна в том или ином смысле, часто встречаются в теории групп. Удивительный результат заключается в том, что в случае , все они фактически изоморфны друг другу и имеют максимально возможный порядок: если с , где p не делит m, то каждая силова p-подгруппа P имеет порядок . То есть P является p-группой и эти свойства можно использовать для дальнейшего анализа структуры G. Следующие теоремы были впервые сформулированы и доказаны Людвигом Сило в 1872 году и опубликованы в Mathematische Annalen. Более слабая версия первой теоремы была впервые доказана Огюстеном Луи Коши и известна как теорема Коши.
The following theorems were first proposed and proven by Ludwig Sylow in 1872, and published in Mathematische Annalen. The following weaker version of theorem 1 was first proved by Augustin Louis Cauchy, and is known as Cauchy's theorem.
Последствия
Теоремы Силоу подразумевают, что для простого числа *p* каждая силовская *p*-подгруппа имеет один и тот же порядок. Обратно, если подгруппа имеет порядок *p*<sup>*n*</sup>, то она является силовской *p*-подгруппой и, следовательно, сопряжена с любой другой силовской *p*-подгруппой. В силу условия максимальности, если *H* – любая *p*-подгруппа *G*, то *H* является подгруппой силовской *p*-подгруппы порядка *p*<sup>*n*</sup>.
A very important consequence of Theorem 2 is that the condition is equivalent to the condition that the Sylow subgroup of is a normal subgroup. However, there are groups that have normal subgroups but no normal Sylow subgroups, such as .
Очень важным следствием теоремы 2 является то, что условие *G/N ≅ A<sub>n</sub>* эквивалентно условию, что силовская *p*-подгруппа *G* является нормальной подгруппой. Однако существуют группы, которые имеют нормальные подгруппы, но не имеют нормальных силовских подгрупп, например *S<sub>3</sub>*.
A very important consequence of Theorem 2 is that the condition is equivalent to the condition that the Sylow subgroup of is a normal subgroup. However, there are groups that have normal subgroups but no normal Sylow subgroups, such as .
Теоремы Силоу для бесконечных групп
Существует аналог теорем Силоу для бесконечных групп. Подгруппа Силоу p в бесконечной группе определяется как p-подгруппа (то есть, порядок каждого элемента в ней является степенью p), максимальная относительно включения среди всех p-подгрупп в группе. Пусть обозначает множество сопряженных элементов подгруппы .
Примеры
Простой пример подгрупп Силоу и теорем Силоу — диэдрическая группа n-угольника, D2n. Для нечетных n, 2¹ является наивысшей степенью 2, делящей порядок, и, следовательно, подгруппы порядка 2 являются подгруппами Силоу. Это группы, порожденные отражением, число которых равно n, и все они сопряжены при вращениях; геометрически оси симметрии проходят через вершину и сторону. Напротив, если n четно, то 4 делит порядок группы, и подгруппы порядка 2 больше не являются подгруппами Силоу, а фактически распадаются на два класса сопряженности, геометрически в зависимости от того, проходят ли они через две вершины или две грани. Они связаны внешним автоморфизмом, который можно представить вращением на π/n, то есть половину минимального вращения в диэдрической группе. Другой пример — подгруппы Силоу p группы GL2(Fq), где p и q — простые числа ≥ 3 и p ≡ 1 (mod q), которые все абелевы. Порядок GL2(Fq) равен (q² − 1)(q² − q) = q(q + 1)(q − 1)². Поскольку q = pⁿm + 1, порядок GL2(Fq) равен p²ⁿm′. Таким образом, по теореме 1, порядок подгрупп Силоу p равен p²ⁿ. Одной из таких подгрупп P является множество диагональных матриц, где x — любой примитивный корень из Fq. Поскольку порядок Fq равен q − 1, его примитивные корни имеют порядок q − 1, что подразумевает, что x^((q − 1)/pⁿ) = 1 или xm и все его степени имеют порядок, являющийся степенью p. Следовательно, P — это подгруппа, все элементы которой имеют порядки, являющиеся степенями p. Существует pn вариантов для a и b, что означает, что P является подгруппой Силоу p, которая абелева, поскольку все диагональные матрицы коммутируют, и поскольку теорема 2 утверждает, что все подгруппы Силоу p сопряжены друг другу, то подгруппы Силоу p группы GL2(Fq) все абелевы.
Примеры применения
Поскольку теорема Силоу гарантирует существование p-подгрупп конечной группы, целесообразно более детально изучить группы порядка степени простого числа. Большинство примеров используют теорему Силоу для доказательства того, что группа заданного порядка не является простой. Для групп малого порядка условия сравнения из теоремы Силоу часто оказываются достаточными для существования нормальной подгруппы. Пример 1: Группы порядка pq, где p и q – простые числа и p < q. Пример 2: Группа порядка 30, группы порядка 20, группы порядка p²q, где p и q – различные простые числа, являются некоторыми из применений. Пример 3 (Группы порядка 60): Если порядок |G| = 60 и группа G имеет более одной подгруппы Силоу 5-го порядка, то G проста.
Циклические групповые ордера
Некоторые непростые числа n обладают тем свойством, что каждая группа порядка n является циклической. Можно показать, что n = 15 является одним из таких чисел, используя теоремы Силоу: пусть G — группа порядка 15 = 3 · 5, а n₃ — число подгрупп Силоу 3-го порядка. Тогда n₃ делится на 5 и n₃ ≡ 1 (по модулю 3). Единственное значение, удовлетворяющее этим условиям, — 1; следовательно, существует только одна подгруппа порядка 3, и она должна быть нормальной (поскольку у неё нет различных сопряжённых элементов). Аналогично, n₅ должно делить 3, и n₅ должно быть сравнимо с 1 по модулю 5; таким образом, должна существовать также единственная нормальная подгруппа 5-го порядка. Поскольку 3 и 5 взаимно просты, пересечение этих двух подгрупп тривиально, и, следовательно, G должно быть внутренним прямым произведением групп порядка 3 и 5, то есть циклической группой порядка 15. Таким образом, существует только одна группа порядка 15 (с точностью до изоморфизма).
Малые группы не просты.
Более сложный пример связан с порядком наименьшей простой нециклической группы. Теорема Бёрнсайда о pa qb утверждает, что если порядок группы является произведением одной или двух простых степеней, то она разрешима, и следовательно, группа не является простой или имеет простой порядок и является циклической. Это исключает все группы до порядка 30. Если G проста и |G| = 30, то n3 должно делить 10 ( = 2 · 5), и n3 должно быть сравнимо с 1 по модулю 3. Следовательно, n3 = 10, поскольку ни 4, ни 7 не делят 10, и если n3 = 1, то, как показано выше, G имела бы нормальную подгруппу порядка 3 и не могла бы быть простой. Тогда G имеет 10 различных циклических подгрупп порядка 3, каждая из которых содержит 2 элемента порядка 3 (плюс единичный элемент). Это означает, что G имеет по крайней мере 20 различных элементов порядка 3. Кроме того, n5 = 6, поскольку n5 должно делить 6 ( = 2 · 3), и n5 должно быть сравнимо с 1 по модулю 5. Таким образом, G также имеет 24 различных элемента порядка 5. Но порядок G равен только 30, поэтому простая группа порядка 30 не может существовать. Далее, предположим, что |G| = 42 = 2 · 3 · 7. Здесь n7 должно делить 6 ( = 2 · 3), и n7 должно быть сравнимо с 1 по модулю 7, следовательно, n7 = 1. Таким образом, как и ранее, G не может быть простой. С другой стороны, для |G| = 60 = 2² · 3 · 5, то n3 = 10 и n5 = 6 вполне возможны. И, фактически, наименьшая простая нециклическая группа — это A5, чередующаяся группа из 5 элементов. Она имеет порядок 60 и содержит 24 циклических перестановки порядка 5 и 20 перестановок порядка 3.
If G is simple, and |G| = 30, then n3 must divide 10 ( = 2 · 5), and n3 must equal 1 (mod 3). Therefore, n3 = 10, since neither 4 nor 7 divides 10, and if n3 = 1 then, as above, G would have a normal subgroup of order 3, and could not be simple. G then has 10 distinct cyclic subgroups of order 3, each of which has 2 elements of order 3 (plus the identity). This means G has at least 20 distinct elements of order 3. As well, n5 = 6, since n5 must divide 6 ( = 2 · 3), and n5 must equal 1 (mod 5). So G also has 24 distinct elements of order 5. But the order of G is only 30, so a simple group of order 30 cannot exist. Next, suppose |G| = 42 = 2 · 3 · 7. Here n7 must divide 6 ( = 2 · 3) and n7 must equal 1 (mod 7), so n7 = 1. So, as before, G can not be simple. On the other hand, for |G| = 60 = 22 · 3 · 5, then n3 = 10 and n5 = 6 is perfectly possible. And in fact, the smallest simple non cyclic group is A5, the alternating group over 5 elements. It has order 60, and has 24 cyclic permutations of order 5, and 20 of order 3.
Результаты слияния
Аргумент Фраттини показывает, что силова подгруппа нормальной подгруппы обеспечивает факторизацию конечной группы. Незначительное обобщение, известное как теорема о слиянии Бернсайда, утверждает, что если G — конечная группа с силовой p-подгруппой P и двумя подмножествами A и B, нормализуемыми P, то A и B сопряжены в G тогда и только тогда, когда они сопряжены в NG(P). Доказательство является простым применением теоремы Силоу: если B = Ag, то нормализатор B содержит не только P, но и Pg (поскольку Pg содержится в нормализаторе Ag). По теореме Силоу, P и Pg сопряжены не только в G, но и в нормализаторе B. Следовательно, gh−1 нормализует P для некоторого h, нормализующего B, а затем Agh−1 = Bh−1 = B, так что A и B сопряжены в NG(P). Теорему о слиянии Бернсайда можно использовать для получения более мощной факторизации, называемой полупрямым произведением: если G — конечная группа, чья силова p-подгруппа P содержится в центре своего нормализатора, то G имеет нормальную подгруппу K порядка, взаимно простого с P, такую, что G = PK и P ∩ K = {1}, то есть G является p-нилпотентной. Менее тривиальные приложения теорем Силоу включают теорему о фокальных подгруппах, которая изучает контроль, который силова p-подгруппа производной подгруппы оказывает на структуру всей группы. Этот контроль используется на нескольких этапах классификации конечных простых групп и, например, определяет разбиение на случаи, используемое в теореме Альперина — Брауэра — Горенштейна, классифицирующей конечные простые группы, чья силова 2-подгруппа является квазидиэдрической группой. Эти результаты опираются на усиление, предложенное Дж. Л. Альперином, части теоремы Силоу о сопряженности, чтобы контролировать, какие элементы используются при сопряжении.
Доказательство теорем Сайлоу
Теоремы Силоу были доказаны различными способами, и история этих доказательств является предметом многих работ, включая работы Уотерхауса, Шарлау, Касадио и Заппы, Гоу, а также в некоторой степени Мео. Одно из доказательств теорем Силоу использует понятие группового действия в разнообразных и изобретательных подходах. Группа G действует на себя или на множество своих p-подгрупп различными способами, и каждое такое действие может быть использовано для доказательства одной из теорем Силоу. Приведенные ниже доказательства основаны на комбинаторных аргументах Виландта. Далее мы будем использовать обозначение для "a делит b" и для отрицания этого утверждения.
Алгоритмы
Проблема нахождения подгруппы Силоу данной группы является важной задачей в вычислительной теории групп. Одно из доказательств существования p-подгрупп Силоу является конструктивным: если H – p-подгруппа группы G и индекс [G:H] делится на p, то нормализатор N = NG(H) подгруппы H в G также обладает свойством, что [N:H] делится на p. Иными словами, полициклическую образующую систему p-подгруппы Силоу можно найти, начиная с любой p-подгруппы H (включая единичную) и выбирая элементы порядка p, содержащиеся в нормализаторе H, но не содержащиеся в самой H. Алгоритмическая версия этого метода (и многих его улучшений) описана в учебниках, например, в работе Батлера, включая алгоритм, описанный в работе Каннона. Эти реализации до сих пор используются в компьютерной алгебраической системе GAP. Для перестановочных групп было доказано Кантором и Кантором с Тейлором, что p-подгруппу Силоу и её нормализатор можно найти за полиномиальное время относительно размера входных данных (степени группы, умноженной на число образующих). Эти алгоритмы описаны в учебнике Сересса и становятся практически применимыми по мере того, как конструктивное распознавание конечных простых групп становится реальностью. В частности, версии этого алгоритма используются в компьютерной алгебраической системе Magma.