Введение

В теории множеств, отрасли математики, урэлемент (от немецкого префикса ur, 'первоначальный') — это объект, который не является множеством (не имеет элементов), но может являться элементом множества. Его также называют атомом или индивидом. Урэлементы также не тождественны пустому множеству.

Теория

Существует несколько различных, но по существу эквивалентных способов обращения с уэлементами в теории первого порядка. Один из способов — работать в теории первого порядка с двумя сортами, множествами и уэлементами, при этом a ∈ b определяется только когда b является множеством. В этом случае, если U является уэлементом, не имеет смысла говорить U ∈ U, хотя U ∈ ∅ вполне допустимо. Другой способ — работать в односортированной теории с унарным отношением, используемым для различения множеств и уэлементов. Поскольку непустые множества содержат элементы, а уэлементы — нет, это унарное отношение необходимо только для различения пустого множества и уэлементов. Следует отметить, что в этом случае аксиома экстенсиональности должна быть сформулирована таким образом, чтобы она применялась только к объектам, которые не являются уэлементами. Эта ситуация аналогична способам рассмотрения теорий множеств и классов. Действительно, уэлементы в некотором смысле двойственны собственным классам: уэлементы не могут содержать элементы, а собственные классы не могут быть элементами. Иными словами, уэлементы являются минимальными объектами, а собственные классы — максимальными объектами по отношению членства (которое, конечно, не является отношением порядка, поэтому эту аналогию следует понимать не буквально).

Элементы теории множеств

Теория множеств Зермело 1908 года включала уэлементы, и поэтому теперь существует версия, называемая ZFA или ZFCA (то есть ZFA с аксиомой выбора). Вскоре стало ясно, что в контексте этой и тесно связанных аксиоматических теорий множеств уэлементы не были необходимы, поскольку их можно легко смоделировать в теории множеств без уэлементов. Таким образом, стандартные изложения канонических аксиоматических теорий множеств ZF и ZFC не упоминают уэлементы (исключение см. у Суппеса). Аксиоматизации теории множеств, использующие уэлементы, включают теорию множеств Крипке–Платека с уэлементами и вариант теории множеств фон Неймана–Бернайса–Гёделя, описанный Мендельсоном. В теории типов объект типа 0 может называться уэлементом; отсюда и название "атом". Добавление уэлементов к системе New Foundations (NF) для получения NFU имеет неожиданные последствия. В частности, Йенсен доказал непротиворечивость NFU относительно арифметики Пеано; тем временем, непротиворечивость NF относительно чего бы то ни было остается открытой проблемой, ожидая проверки доказательства Холмса о ее непротиворечивости относительно ZF. Более того, NFU остается относительно непротиворечивой при дополнении аксиомой бесконечности и аксиомой выбора. Между тем, отрицание аксиомы выбора, как ни странно, является теоремой NF. Холмс (1998) рассматривает эти факты как свидетельство того, что NFU является более успешным основанием для математики, чем NF. Холмс далее утверждает, что теория множеств более естественна с уэлементами, чем без них, поскольку в качестве уэлементов можно принимать объекты любой теории или физической вселенной. В финистической теории множеств уэлементы отображаются на компоненты самого низкого уровня целевого явления, такие как атомные составляющие физического объекта или члены организации.

Атомы квин

Альтернативный подход к уэлементам заключается в том, чтобы рассматривать их не как тип объектов, отличных от множеств, а как особый тип множеств. Атомы Куина (названные в честь Уилларда Ван Ормана Куина) — это множества, содержащие только себя, то есть множества, удовлетворяющие формуле x = {x}. Атомы Куина не могут существовать в системах теории множеств, включающих аксиому регулярности, но могут существовать в не вполне обоснованной теории множеств. Теория множеств ZF без аксиомы регулярности не может доказать существование каких-либо не вполне обоснованных множеств (если она не является противоречивой, в этом случае она докажет любое произвольное утверждение), но она совместима с существованием атомов Куина. Аксиома антиоснований Ацеля предполагает, что существует единственный атом Куина. Другие не вполне обоснованные теории могут допускать множество различных атомов Куина; на другом конце спектра находится аксиома суперуниверсальности Боффы, которая подразумевает, что различные атомы Куина образуют собственное множество. Атомы Куина — это единственные множества, которые Питер Ацель называет рефлексивными множествами, хотя другие авторы, например, Джон Барвайз и Лоуренс Мосс, используют последний термин для обозначения более широкого класса множеств, обладающих свойством x ∈ x.