Введение
В математике и теории струн конифолд — это обобщение многообразия. В отличие от многообразий, конифолды могут содержать конические сингулярности, то есть точки, окрестности которых локально выглядят как конусы над некоторым основанием. В физике, особенно в компактификациях с потоками в теории струн, основанием обычно является пятимерное вещественное многообразие, поскольку рассматриваемые конифолды обычно представляют собой комплексные трехмерные (вещественные шестимерные) пространства.
Обзор
Конические складки являются важными объектами в теории струн: Брайан Грин объясняет физику конических складок в главе 13 своей книги «Элегантная Вселенная», включая тот факт, что пространство может разрываться вблизи конуса, и его топология может изменяться. Эта возможность была впервые отмечена и использована для доказательства того, что конифолды обеспечивают связь между всеми (тогда) известными компактификациями Калаби-Яу в теории струн; это частично подтверждает гипотезу, согласно которой конифолды соединяют все возможные комплексные 3-мерные пространства Калаби-Яу. Хорошо известный пример конифолда получается как предел деформации квинтики, то есть квинтической гиперповерхности в проективном пространстве. Пространство имеет комплексную размерность, равную четырем, и, следовательно, пространство, определяемое квинтическими (степени пять) уравнениями: в терминах однородных координат на , для любого фиксированного комплексного , имеет комплексную размерность три. Это семейство квинтических гиперповерхностей является самым известным примером многообразий Калаби-Яу. Если параметр комплексной структуры выбран таким образом, чтобы стать равным единице, описанное выше многообразие становится сингулярным, поскольку производные квинтичного многочлена в уравнении обращаются в нуль, когда все координаты равны или их отношения являются определенными пятыми корнями из единицы. Окрестность этой сингулярной точки выглядит как конус, основание которого топологически является . В контексте теории струн геометрически сингулярные конифолды можно показать приводящими к полностью гладкой физике струн. Расходимости "размываются" D3-бранами, обернутыми на сжимающуюся трехсферу в теории струн типа IIB, и D2-бранами, обернутыми на сжимающуюся двусферу в теории струн типа IIA, как было первоначально указано. Как показано, это обеспечивает струнное теоретическое описание изменения топологии посредством конифолдного перехода, первоначально описанного , который также ввел термин "конифолд" и диаграмму для этой цели. Таким образом, показано, что два топологически различных способа сглаживания конифолда включают замену сингулярной вершины (узла) либо трехсферой (путем деформации комплексной структуры), либо двусферой (путем "малого разрешения"). Считается, что почти все многообразия Калаби-Яу могут быть связаны посредством этих "критических переходов", что согласуется с гипотезой Рейда.
in terms of homogeneous coordinates on , for any fixed complex , has complex dimension three. This family of quintic hypersurfaces is the most famous example of Calabi–Yau manifolds. If the complex structure parameter is chosen to become equal to one, the manifold described above becomes singular since the derivatives of the quintic polynomial in the equation vanish when all coordinates are equal or their ratios are certain fifth roots of unity. The neighbourhood of this singular point looks like a cone whose base is topologically just. In the context of string theory, the geometrically singular conifolds can be shown to lead to completely smooth physics of strings. The divergences are "smeared out" by D3 branes wrapped on the shrinking three sphere in Type IIB string theory and by D2 branes wrapped on the shrinking two sphere in Type IIA string theory, as originally pointed out by As shown by , this provides the string theoretic description of the topology change via the conifold transition originally described by , who also invented the term "conifold" and the diagram
for the purpose. The two topologically distinct ways of smoothing a conifold are thus shown to involve replacing the singular vertex (node) by either a 3 sphere (by way of deforming the complex structure) or a 2 sphere (by way of a "small resolution"). It is believed that nearly all Calabi–Yau manifolds can be connected via these "critical transitions", resonating with Reid's conjecture.