Введение
Риманово многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна. В дифференциальной геометрии и математической физике, многообразие Эйнштейна — это дифференцируемое риманово или псевдориманово многообразие, чей тензор Риччи пропорционален метрике. Они названы в честь Альберта Эйнштейна, поскольку это условие эквивалентно утверждению, что метрика является решением вакуумных уравнений Эйнштейна (с космологической постоянной), хотя размерность и сигнатура метрики могут быть произвольными, и, следовательно, не ограничиваются лоренцевыми многообразиями (включая четырехмерные лоренцевы многообразия, обычно изучаемые в общей теории относительности). Эйнштейновские многообразия в четырех евклидовых измерениях изучаются как гравитационные инстантоны. Если M — базовое n-мерное многообразие, а g — его метрический тензор, то условие Эйнштейна означает, что
In differential geometry and mathematical physics, an Einstein manifold is a Riemannian or pseudo Riemannian differentiable manifold whose Ricci tensor is proportional to the metric. They are named after Albert Einstein because this condition is equivalent to saying that the metric is a solution of the vacuum Einstein field equations (with cosmological constant), although both the dimension and the signature of the metric can be arbitrary, thus not being restricted to Lorentzian manifolds (including the four dimensional Lorentzian manifolds usually studied in general relativity). Einstein manifolds in four Euclidean dimensions are studied as gravitational instantons. If M is the underlying n dimensional manifold, and g is its metric tensor, the Einstein condition means that
для некоторой постоянной k, где Ric обозначает тензор Риччи метрики g. Многообразия Эйнштейна с k = 0 называются многообразиями с нулевым тензором Риччи.
Приложения
Четырехмерные римановы эйнштейновские многообразия также важны в математической физике как гравитационные инстантоны в квантовых теориях гравитации. Термин "гравитационный инстантон" обычно используется для обозначения эйнштейновских 4-многообразий, тензор Вейля которых самодвойственен, и обычно предполагается, что метрика асимптотически приближается к стандартной метрике 4-мерного евклидова пространства (и, следовательно, является полным, но не компактным). В дифференциальной геометрии самодвойственные эйнштейновские 4-многообразия также известны как (4-мерные) гиперкэлеровы многообразия в случае плоской риччиевой кривизны и кватернионно-кэлеровы многообразия в остальных случаях. Высокоразмерные лоренцевы эйнштейновские многообразия используются в современных теориях гравитации, таких как теория струн, М-теория и супергравитация. Гиперкэлеровы и кватернионно-кэлеровы многообразия (которые являются особыми типами эйнштейновских многообразий) также находят применение в физике в качестве целевых пространств для нелинейных σ-моделей с суперсимметрией. Компактные эйнштейновские многообразия интенсивно изучались в дифференциальной геометрии, и известно много примеров, хотя их построение часто представляет собой сложную задачу. Особенно трудно найти компактные многообразия с нулевой риччиевой кривизной: в монографии по этой теме, написанной под псевдонимом Артура Бессе, читателям предлагается ужин в ресторане, отмеченном звездами Мишлен, в обмен на новый пример.