Введение
Способ расширения некомпактного топологического пространства. В математической области топологии расширение Александрова — это способ расширения некомпактного топологического пространства путём добавления одной точки таким образом, что результирующее пространство становится компактным. Оно названо в честь русского математика Павла Александрова. Более точно, пусть X — топологическое пространство. Тогда расширение Александрова пространства X представляет собой некоторое компактное пространство X* вместе с открытым вложением c : X → X*, такое что дополнение X в X* состоит из одной точки, обычно обозначаемой ∞. Отображение c является компактификацией Хаусдорфа тогда и только тогда, когда X является локально компактным, некомпактным пространством Хаусдорфа. Для таких пространств расширение Александрова называется одноточечной компактификацией или компактификацией Александрова. Преимущества компактификации Александрова заключаются в её простой, часто геометрически наглядной структуре и в том, что она в точном смысле минимальна среди всех компактификаций; недостаток состоит в том, что она даёт только компактификацию Хаусдорфа для класса локально компактных, некомпактных пространств Хаусдорфа, в отличие от компактификации Стоуна — Чеха, которая существует для любого топологического пространства (но обеспечивает вложение именно для пространств Тихонова).
In the mathematical field of topology, the Alexandroff extension is a way to extend a noncompact topological space by adjoining a single point in such a way that the resulting space is compact. It is named after the Russian mathematician Pavel Alexandroff. More precisely, let X be a topological space. Then the Alexandroff extension of X is a certain compact space X* together with an open embedding c : X → X* such that the complement of X in X* consists of a single point, typically denoted ∞. The map c is a Hausdorff compactification if and only if X is a locally compact, noncompact Hausdorff space. For such spaces the Alexandroff extension is called the one point compactification or Alexandroff compactification. The advantages of the Alexandroff compactification lie in its simple, often geometrically meaningful structure and the fact that it is in a precise sense minimal among all compactifications; the disadvantage lies in the fact that it only gives a Hausdorff compactification on the class of locally compact, noncompact Hausdorff spaces, unlike the Stone–Čech compactification which exists for any topological space (but provides an embedding exactly for Tychonoff spaces).
Пример: обратная стереографическая проекция
Геометрически наглядный пример одноточечной компактификации дается обратной стереографической проекцией. Вспомним, что стереографическая проекция S задает явный гомеоморфизм с единичной сферы, из которой удален северный полюс (0,0,1), на евклидову плоскость. Обратная стереографическая проекция является открытым, плотным вложением в компактное хаусдорфово пространство, полученное добавлением одной дополнительной точки. При стереографической проекции широты отображаются в плоские окружности. Следовательно, удаленная база окрестностей, заданная проколотыми сферическими колпаками, соответствует дополнениям к замкнутым плоским дискам. Более качественно, база окрестностей в точке представлена множествами, где K пробегает по компактным подмножествам. Этот пример уже содержит ключевые понятия общего случая.
Мотивация
Пусть задано вложение из топологического пространства X в компактное топологическое пространство Хаусдорфа Y с плотным образом и одним остаточным элементом. Тогда c(X) открыто в компактном пространстве Хаусдорфа, следовательно, является локально компактным пространством Хаусдорфа, а значит, его гомеоморфный прообраз X также является локально компактным пространством Хаусдорфа. Более того, если бы X было компактным, то c(X) было бы замкнутым в Y и, следовательно, не было бы плотным. Таким образом, пространство может допускать одноточечную компактификацию Хаусдорфа только в том случае, если оно локально компактно, некомпактно и хаусдорфово. Более того, в такой одноточечной компактификации образ окрестностной базы для x в X дает окрестностную базу для c(x) в c(X), и поскольку подмножество компактного пространства Хаусдорфа компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, открытые окрестности c(x) должны быть всеми множествами, полученными добавлением c(x) к образу под c подмножества X с компактным дополнением.
Одноточечная уплотнение
В частности, расширение Александрова является хаусдорфовой компактификацией пространства X тогда и только тогда, когда X является хаусдорфовым, некомпактным и локально компактным. В этом случае оно называется одноточечной или компактификацией Александрова пространства X. Напомним из вышесказанного, что любая хаусдорфова компактификация с остатком, состоящим из одной точки, обязательно (изоморфна) компактификации Александрова. В частности, если – компактное хаусдорфово пространство, а – предельная точка (то есть неизолированная точка), то является компактификацией Александрова . Пусть X – любое некомпактное тихоноффово пространство. При естественном частичном порядке на множестве классов эквивалентности компактификаций, любой минимальный элемент эквивалентен расширению Александрова (Энгелькин, теорема 3.5.12). Следовательно, некомпактное тихоноффово пространство допускает минимальную компактификацию тогда и только тогда, когда оно локально компактно.
Let X be any noncompact Tychonoff space. Under the natural partial ordering on the set of equivalence classes of compactifications, any minimal element is equivalent to the Alexandroff extension (Engelking, Theorem 3.5.12). It follows that a noncompact Tychonoff space admits a minimal compactification if and only if it is locally compact.
Компактификация дискретных пространств
Одноточечная компактификация множества положительных целых чисел гомеоморфна пространству, состоящему из K = {0} ∪ {1/n | n – положительное целое число} с топологией порядка. Последовательность в топологическом пространстве сходится к точке в , если и только если отображение , заданное для при непрерывно. Здесь имеет дискретную топологию. Полиадические пространства определяются как топологические пространства, являющиеся непрерывным образом степени одноточечной компактификации дискретного локально компактного хаусдорфова пространства.
Компактификация непрерывных пространств
Одноточечная компактификация n-мерного евклидова пространства Rn гомеоморфна n-сфере Sn. Как и выше, отображение можно задать явно как n-мерную обратную стереографическую проекцию. Одноточечная компактификация произведения копий полуоткрытого интервала [0,1), то есть , гомеоморфна . Поскольку замыкание связного подмножества связно, расширение Александрова некомпактного связного пространства связно. Однако одноточечная компактификация может "соединить" несвязное пространство: например, одноточечная компактификация дизъюнктного объединения конечного числа копий интервала (0,1) является клином окружностей. Одноточечная компактификация дизъюнктного объединения счетного числа копий интервала (0,1) – гавайская серьга. Это отличается от клина счетного числа окружностей, который не компактен. Пусть даны компактное хаусдорфово пространство и любое замкнутое подмножество , тогда одноточечная компактификация равна , где косая черта обозначает факторпространство. Если и – локально компактные хаусдорфовы пространства, то , где – smash-произведение. Вспомним определение smash-произведения: , где – клиновидная сумма, и снова, / обозначает факторпространство.
Since the closure of a connected subset is connected, the Alexandroff extension of a noncompact connected space is connected. However a one point compactification may "connect" a disconnected space: for instance the one point compactification of the disjoint union of a finite number of copies of the interval (0,1) is a wedge of circles. The one point compactification of the disjoint union of a countable number of copies of the interval (0,1) is the Hawaiian earring. This is different from the wedge of countably many circles, which is not compact. Given compact Hausdorff and any closed subset of , the one point compactification of is , where the forward slash denotes the quotient space. If and are locally compact Hausdorff, then where is the smash product. Recall that the definition of the smash product: where is the wedge sum, and again, / denotes the quotient space.
Как функтор
Расширение Александрова можно рассматривать как функтор из категории топологических пространств, морфизмами в которой являются надлежащие непрерывные отображения, в категорию, объекты которой — непрерывные отображения, а морфизмы из f в g — пары непрерывных отображений (α, β) такие, что g∘α = β. В частности, гомеоморфные пространства имеют изоморфные расширения Александрова.