Введение

Локально компактная топологическая группа с инвариантной операцией усреднения. В математике, податливая группа — это локально компактная топологическая группа G, обладающая своего рода операцией усреднения на ограниченных функциях, которая инвариантна относительно сдвигов элементами группы. Первоначальное определение, в терминах конечно аддитивной меры (или среднего значения) на подмножествах G, было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием "messbar" ("измеримый" на английском языке) в ответ на парадокс Банаха — Тарского. В 1949 году Малон М. Дей ввел английский перевод "amenable", по-видимому, как игру слов на основе слова "mean" ("среднее"). Критический шаг в построении парадокса Банаха — Тарского заключается в нахождении внутри группы вращений SO(3) свободной подгруппы, порожденной двумя элементами. Податливые группы не могут содержать такие группы и не допускают подобного парадоксального построения. Податливость имеет множество эквивалентных определений. В области анализа определение дается в терминах линейных функционалов. Интуитивно понятным способом понимания этой версии является то, что носитель регулярного представления — это все пространство неприводимых представлений. В дискретной теории групп, где G имеет дискретную топологию, используется более простое определение. В этом случае группа податлива, если можно определить, какую долю G занимает любое заданное подмножество. Например, любая подгруппа группы целых чисел порождается некоторым целым числом. Если , то подгруппа занимает долю 0. В противном случае она занимает всей группы. Несмотря на то, что и группа, и подгруппа содержат бесконечно много элементов, существует четко определенное понятие доли. Если группа имеет последовательность Фёльнера, то она автоматически податлива.

Определение локально компактных групп

Пусть G — локально компактная группа Хаусдорфа. Тогда хорошо известно, что она обладает единственной с точностью до масштаба лево- (или право-) инвариантной нетривиальной кольцевой мерой, мерой Хаара. (Это регулярная мера Бореля, когда G счетно вторая; существуют как левая, так и правая меры, когда G компактна.) Рассмотрим банахово пространство L∞(G) существенно ограниченных измеримых функций в этом пространстве с мерой (которое явно не зависит от масштаба меры Хаара). Определение 1. Линейный функционал Λ из Hom(L∞(G), R) называется средним, если норма Λ равна 1 и он неотрицателен, то есть, если f ≥ 0 почти всюду, то Λ(f) ≥ 0. Определение 2. Средний Λ из Hom(L∞(G), R) называется левоинвариантным (соответственно, правоинвариантным), если Λ(g·f) = Λ(f) для всех g из G и f из L∞(G) относительно левого (соответственно, правого) сдвига, заданного действием g·f(x) = f(g⁻¹x) (соответственно, f·g(x) = f(xg⁻¹)). Определение 3. Локально компактная группа Хаусдорфа называется представимой, если она допускает лево- (или право-) инвариантный средний.

Пример

В качестве примера компактных групп рассмотрим окружность. График типичной функции f ≥ 0 выглядит как зубчатая кривая над окружностью, которую можно получить, оторвав конец от бумажной трубки. Линейный функционал усредняет эту кривую, отрезая часть бумаги в одном месте и приклеивая её в другом, чтобы снова получить плоскую вершину. Это и есть инвариантное среднее. Левоинвариантность означает, что вращение трубки не изменяет высоту плоской вершины на конце, то есть важна только форма трубки. В сочетании с линейностью, неотрицательностью и нормой 1 этого достаточно, чтобы доказать, что построенное нами инвариантное среднее единственно. В качестве примера локально компактных групп рассмотрим группу целых чисел. Ограниченная функция f – это просто ограниченная функция, а её среднее значение – скользящее среднее.

Случай дискретных групп

Определение податливости проще в случае дискретной группы, т. е. группы, оснащенной дискретной топологией. Определение. Дискретная группа G податна, если существует конечно аддитивная мера (также называемая средним) — функция, которая присваивает каждому подмножеству G число от 0 до 1, — такая, что

Мера является мерой вероятности: мера всей группы G равна 1. Мера конечно аддитивна: для конечного числа непересекающихся подмножеств G мера объединения множеств равна сумме мер. Мера левоинвариантна: для подмножества A и элемента g из G мера A равна мере gA. (gA обозначает множество элементов ga для каждого элемента a в A. То есть каждый элемент A сдвигается влево на g.)

Это определение можно суммировать следующим образом: G податна, если она имеет конечно аддитивную левоинвариантную меру вероятности. Для подмножества A из G меру можно рассматривать как ответ на вопрос: какова вероятность того, что случайный элемент G находится в A? Это факт, что это определение эквивалентно определению в терминах L∞(G). Наличие меры μ на G позволяет нам определить интеграл ограниченных функций на G. Для ограниченной функции f: G → R интеграл

определяется как в интеграле Лебега. (Обратите внимание, что некоторые свойства интеграла Лебега здесь не выполняются, так как наша мера только конечно аддитивна.) Если группа имеет левоинвариантную меру, она автоматически имеет биинвариантную. Для левоинвариантной меры μ функция μ−(A) = μ(A−1) является правоинвариантной мерой. Комбинируя эти две, получается биинвариантная мера:

Эквивалентные условия податности также становятся проще в случае счетной дискретной группы Γ. Для такой группы эквивалентны следующие условия:

Γ податна. Если Γ действует изометриями на (разделимое) банахово пространство E, оставляя слабо замкнутое выпуклое подмножество C замкнутого единичного шара E* инвариантным, то Γ имеет фиксированную точку в C.
Существует левоинвариантная норма-непрерывная функциональная μ на ℓ∞(Γ) с μ(1) = 1 (для этого требуется аксиома выбора). Существует левоинвариантное состояние μ на любом левоинвариантном разделимом унитальном C*-подалгебре ℓ∞(Γ). Существует множество мер вероятности μn на Γ, таких, что ||g · μn − μn||1 стремится к 0 для каждого g в Γ (М. М. Дэй). Существуют единичные векторы xn в ℓ2(Γ) такие, что ||g · xn − xn||2 стремится к 0 для каждого g в Γ (Ж. Диксмье). Существуют конечные подмножества Sn из Γ, такие, что |g · Sn Δ Sn| / |Sn| стремится к 0 для каждого g в Γ (Фёльнер). Если μ — симметричная мера вероятности на Γ с носителем, порождающим Γ, то свертка по μ определяет оператор нормы 1 на ℓ2(Γ) (Kesten). Если Γ действует изометриями на (разделимое) банахово пространство E и f в ℓ∞(Γ, E*) является ограниченным 1-коциклом, т. е. f(gh) = f(g) + g·f(h), то f является 1-кограницей, т. е. f(g) = g·φ − φ для некоторого φ в E* (Б. Э. Джонсон). Сниженная C*-алгебра группы (см. сниженную C*-алгебру группы Cr*(G)) является ядерной. Сниженная C*-алгебра группы является квазидиагональной (J. Rosenberg, A. Tikuisis, S. White, W. Winter). Алгебра фон Неймана группы (см. алгебры фон Неймана, связанные с группами) Γ является гиперконечной (А. Конн). Обратите внимание, что А. Конн также доказал, что алгебра фон Неймана любой связной локально компактной группы является гиперконечной, поэтому последнее условие больше не применяется в случае связных групп. Податность связана со спектральной теорией определенных операторов. Например, фундаментальная группа замкнутого риманова многообразия податна тогда и только тогда, когда нижняя грань спектра лапласиана на пространстве L2 универсальной накрывающей многообразия равна 0.

Свойства

Каждая (замкнутая) подгруппа аменабельной группы аменабельна. Каждое фактор-группа аменабельной группы аменабельна. Расширение группы аменабельной группой аменабельна, и снова аменабельно. В частности, конечное прямое произведение аменабельных групп аменабельно, хотя бесконечные произведения не обязательно аменабельны. Прямые пределы аменабельных групп аменабельны. В частности, если группу можно представить как направленный союз аменабельных подгрупп, то она аменабельна. Аменабельные группы унитаризуемы; обратное утверждение является открытой проблемой. Счетные дискретные аменабельные группы удовлетворяют теореме об изоморфизме Орнштейна.

Примеры

Конечные группы аменены. Используйте счетную меру с дискретным определением. В более общем смысле, компактные группы аменены. Мера Хаара является инвариантным средним (единственным, принимающим общую меру 1). Группа целых чисел амена (последовательность интервалов длины, стремящейся к бесконечности, является последовательностью Фёльнера). Существование сдвигоинвариантной, конечно-аддитивной вероятностной меры на группе Z также легко следует из теоремы Хана — Банаха. Пусть S — оператор сдвига на последовательном пространстве ℓ∞(Z), определяемый как (Sx)i = xi+1 для всех x ∈ ℓ∞(Z), и пусть u ∈ ℓ∞(Z) — постоянная последовательность ui = 1 для всех i ∈ Z. Любой элемент y ∈ Y := range(S − I) имеет расстояние до u, большее или равное 1 (иначе yi = xi+1 − xi было бы положительным и ограничено снизу, а значит, xi не могло бы быть ограничено). Это означает, что существует однозначно определенная линейная форма с нормой 1 на подпространстве Ru + Y, отображающая tu + y в t. По теореме Хана — Банаха последняя допускает линейное расширение с нормой 1 на ℓ∞(Z), которое по построению является сдвигоинвариантной, конечно-аддитивной вероятностной мерой на Z. Если каждый класс сопряженности в локально компактной группе имеет компактное замыкание, то группа амена. Примеры групп с этим свойством включают компактные группы, локально компактные абелевы группы и дискретные группы с конечными классами сопряженности. Согласно свойству прямого предела, группа амена, если все её конечно порожденные подгруппы аменены. То есть, локально аменены группы аменены. По фундаментальной теореме о конечно порожденных абелевых группах следует, что абелевы группы аменены. Из свойства расширения следует, что группа амена, если она имеет аменную подгруппу конечного индекса. То есть, виртуально аменены группы аменены. Более того, следует, что все разрешимые группы аменены. Все приведенные выше примеры являются элементарно аменены. Первый класс примеров ниже можно использовать для демонстрации неэлементарно аменены примеров благодаря существованию групп промежуточного роста. Конечно порожденные группы субекспоненциального роста аменены. Подходящая подпоследовательность шаров обеспечит последовательность Фёльнера. Конечно порожденные бесконечные простые группы не могут быть получены с помощью бутстрэп-конструкций, используемых для построения элементарно аменены групп. Поскольку существуют такие простые группы, которые аменены, благодаря Ющенко и Моноду, это снова дает неэлементарно аменены примеры.

Нет примеров

Если счетная дискретная группа содержит (неабелеву) свободную подгруппу, порожденную двумя элементами, то она не является податливой. Обратное этому утверждению – так называемая гипотеза фон Неймана, которая была опровергнута Олшанским в 1980 году с использованием его монстров Тарского. Впоследствии Адьян показал, что свободные группы Бернсайда не являются податливыми: поскольку они периодичны, они не могут содержать свободную группу, порожденную двумя элементами. Эти группы конечно порождены, но не конечно представимы. Однако в 2002 году Сапир и Олшанский нашли конечно представимые контрпримеры: не податливые конечно представимые группы, имеющие периодическую нормальную подгруппу с фактор-группой, изоморфной целым числам. Для конечно порожденных линейных групп, однако, гипотеза фон Неймана верна в силу альтернативы Титса: каждая подгруппа GL(n,k), где k – поле, либо имеет нормальную разрешимую подгруппу конечного индекса (и, следовательно, является податливой), либо содержит свободную группу, порожденную двумя элементами. Хотя доказательство Титса использовало алгебраическую геометрию, Гиварч позже нашел аналитическое доказательство, основанное на мультипликативной эргодической теореме В. Оселедца. Аналоги альтернативы Титса были доказаны для многих других классов групп, таких как фундаментальные группы двухмерных симплициальных комплексов с неположительной кривизной.