Введение

Класс линейных частных дифференциальных уравнений второго порядка

Линейные частные дифференциальные уравнения второго порядка (PDEs) классифицируются как эллиптические, гиперболические или параболические. Любое линейное PDE второго порядка в двух переменных может быть записано в форме

где A, B, C, D, E, F и G – функции x и y, и где , и аналогично для PDE, записанной в этой форме, является эллиптической, если

при этом данная номенклатура вдохновлена уравнением плоской эллипса. Уравнения с называются параболическими, а уравнения с – гиперболическими. Простейшими примерами эллиптических PDE являются уравнение Лапласа, , и уравнение Пуассона, . В некотором смысле любое другое эллиптическое PDE в двух переменных можно рассматривать как обобщение одного из этих уравнений, поскольку его всегда можно привести к канонической форме

путем замены переменных.

Качественное поведение

Эллиптические уравнения не имеют действительных характерных кривых, кривых, вдоль которых невозможно исключить хотя бы одну вторую производную из условий задачи Коши. Поскольку характерные кривые – это единственные кривые, вдоль которых решения уравнений в частных производных с гладкими параметрами могут иметь разрывные производные, решения эллиптических уравнений не могут иметь разрывных производных ни в одной точке. Это означает, что эллиптические уравнения хорошо подходят для описания состояний равновесия, где любые разрывы уже сглажены. Например, уравнение Лапласа можно получить из уравнения теплопроводности, полагая Это означает, что уравнение Лапласа описывает стационарное состояние уравнения теплопроводности. В параболических и гиперболических уравнениях характеристики описывают линии, вдоль которых распространяется информация об исходных данных. Поскольку эллиптические уравнения не имеют действительных характерных кривых, для эллиптических уравнений не существует осмысленного понятия распространения информации. Это делает эллиптические уравнения более подходящими для описания статических, а не динамических процессов.