Введение

Понятие в абстрактной алгебре — инъективный корпус модуля в алгебре. В математике, особенно в алгебре, инъективный корпус (или инъективная оболочка) модуля является одновременно наименьшим инъективным модулем, содержащим его, и наибольшим существенным расширением этого модуля. Инъективные корпуса впервые были описаны в .

Определение

Модуль E называется инъективным пополнением модуля M, если E является существенным расширением M и E инъективен. Здесь базовое кольцо – кольцо с единицей, хотя оно может быть некоммутативным.

Примеры

Инъекционный модуль является своим собственным инъективным полем. Инъективное поле интегральной области (как модуль над собой) является её полем частных. Инъективное поле циклической p-группы (как Z-модуль) является группой Прюфера. Инъективное поле абелевой группы, свободной от кручения, является тензорным произведением. Инъективное поле R/rad(R) равно Homk(R, k), где R – конечномерная k-алгебра с радикалом Джейкобсона rad(R). Простой модуль обязательно является соклем своего инъективного поля. Инъективное поле поля вычетов дискретного кольца оценки равно , где . В частности, инъективное поле в является модулем .

Свойства

Инъективный корпус M уникален с точностью до изоморфизмов, являющихся тождественными на M, однако изоморфизм не обязательно единственен. Это происходит потому, что свойство расширения отображений инъективного корпуса не является полноценным универсальным свойством. Благодаря этой уникальности, корпус можно обозначить как E(M). Инъективный корпус E(M) является максимальным существенным расширением M в том смысле, что если M ⊆ E(M) ⊂ B для модуля B, то M не является существенным подмодулем B. Инъективный корпус E(M) является минимальным инъективным модулем, содержащим M, в том смысле, что если M ⊆ B для инъективного модуля B, то E(M) изоморфен подмодулю B. Если N – существенный подмодуль M, то E(N) = E(M). Каждый модуль M имеет инъективный корпус. Построение инъективного корпуса в терминах гомоморфизмов Hom(I, M), где I пробегает по идеалам R, дано. Дуальное понятие проективного покрытия не всегда существует для модуля, однако плоское покрытие существует для каждого модуля.

Кольцевая структура

В некоторых случаях, для подкольца R самоинъективного кольца S, инъективная оболочка R также будет иметь кольцевую структуру. Например, если взять S за полное кольцо матриц над полем, а R за любое кольцо, содержащее все матрицы, равные нулю во всех столбцах, кроме последнего, то инъективная оболочка правого R-модуля R является S. Например, можно взять R за кольцо всех верхнетреугольных матриц. Однако не всегда инъективная оболочка кольца имеет кольцевую структуру, что демонстрирует пример в [укажите источник]. Большой класс колец, инъективные оболочки которых действительно обладают кольцевой структурой, – это несингулярные кольца. В частности, для целостного домена инъективная оболочка кольца (рассматриваемого как модуль над собой) является полем частных. Инъективные оболочки несингулярных колец предоставляют аналогию кольца частных для некоммутативных колец, где отсутствие условия Оре может препятствовать построению классического кольца частных. Этот тип "кольца частных" (так называются эти более общие "поля частных") был впервые исследован в [укажите источник], а связь с инъективными оболочками была установлена в [укажите источник].

Единообразные размеры и инъекционные модули

Модуль R M имеет конечную равномерную размерность (= конечный ранг) n тогда и только тогда, когда инъективная оболочка M является конечной прямой суммой n неразложимых подмодулей.

Обобщение

В более общем смысле, пусть C — абелева категория. Объект E является инъективной оболочкой объекта M, если отображение M → E является существенным расширением, а E — инъективным объектом. Если C локально малая, удовлетворяет аксиоме Гротендика AB5 и имеет достаточно инъективных объектов, то каждый объект в C имеет инъективную оболочку (эти три условия выполняются для категории модулей над кольцом). Каждый объект в категории Гротендика имеет инъективную оболочку.