Введение
Поверхность, содержащая линию через каждую точку
В геометрии поверхность S называется рулевой (также называемой свитком), если через каждую точку S проходит прямая линия, лежащая на S. Примеры включают плоскость, боковую поверхность цилиндра или конуса, коническую поверхность с эллиптической директрисой, правильный коноид, геликоид и развертка гладкой кривой. Рулевую поверхность можно описать как множество точек, описываемых движущейся прямой линией. Например, конус образуется путем фиксации одной точки прямой и перемещения другой точки по окружности. Поверхность называется дважды рулевой, если через каждую ее точку проходят две различные прямые линии, лежащие на поверхности. Гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид являются дважды рулевыми поверхностями. Плоскость – единственная поверхность, содержащая по крайней мере три различные прямые линии через каждую свою точку. Свойства рулевости или дважды рулевости сохраняются при проективных преобразованиях и, следовательно, являются понятиями проективной геометрии. В алгебраической геометрии рулевые поверхности иногда рассматриваются как поверхности в аффинном или проективном пространстве над полем, но также могут рассматриваться как абстрактные алгебраические поверхности без вложения в аффинное или проективное пространство, в этом случае под "прямой линией" понимается аффинная или проективная прямая.
The properties of being ruled or doubly ruled are preserved by projective maps, and therefore are concepts of projective geometry. In algebraic geometry, ruled surfaces are sometimes considered to be surfaces in affine or projective space over a field, but they are also sometimes considered as abstract algebraic surfaces without an embedding into affine or projective space, in which case "straight line" is understood to mean an affine or projective line.
Геликоидный
Директриса — ось z, направления линий — , а вторая директриса — спираль. Геликоид является частным случаем управляемых обобщённых геликоидов.
Поверхности с рулями в алгебраической геометрии
В алгебраической геометрии, управляемые поверхности изначально определялись как проективные поверхности в проективном пространстве, содержащие прямую линию, проходящую через любую заданную точку. Это сразу же подразумевает, что на поверхности через любую точку проходит проективная прямая, и это условие теперь часто используется как определение управляемой поверхности: управляемые поверхности определяются как абстрактные проективные поверхности, удовлетворяющие условию, что через любую точку проходит проективная прямая. Это эквивалентно утверждению, что они бирационально сопоставимы с произведением кривой и проективной прямой. Иногда управляемая поверхность определяется как поверхность, удовлетворяющая более сильному условию – наличию фибрации над кривой, волокна которой являются проективными прямыми. Это исключает проективную плоскость, которая содержит проективную прямую через каждую точку, но не может быть представлена в виде такой фибрации. Управляемые поверхности встречаются в классификации Энрикеса проективных комплексных поверхностей, поскольку каждая алгебраическая поверхность с размерностью Кодайры является управляемой поверхностью (или проективной плоскостью, если используется ограничивающее определение управляемой поверхности). Каждая минимальная проективная управляемая поверхность, отличная от проективной плоскости, является проективным расслоением 2-мерного векторного расслоения над некоторой кривой. Управляемые поверхности с базовой кривой рода 0 являются поверхностями Хирцебруха.