Введение

Пространство вакуумных состояний

В квантовой теории поля термин «модули» (модуль; более точно – модули полей) иногда используется для обозначения скалярных полей, функция потенциальной энергии которых имеет непрерывные семейства глобальных минимумов. Такие функции потенциала часто встречаются в суперсимметричных системах. Термин «модуль» заимствован из математики (или, точнее, модульное пространство – из алгебраической геометрии), где он используется как синоним «параметра». Слово «модули» (Moduln в немецком языке) впервые появилось в 1857 году в знаменитой работе Бернарда Римана «Theorie der Abel’schen Functionen».

Модульные пространства в квантовых теориях поля

В квантовых теориях поля возможные вакуумы обычно характеризуются вакуумными средними значениями скалярных полей, поскольку инвариантность Лоренца вынуждает вакуумные средние значения полей с более высоким спином равняться нулю. Эти вакуумные средние значения могут принимать любые значения, при которых потенциальная функция достигает минимума. Следовательно, если потенциальная функция имеет непрерывные семейства глобальных минимумов, пространство вакуумов квантовой теории поля представляет собой многообразие (или орбифолд), обычно называемое вакуумным многообразием. Это многообразие часто называют пространством модулей вакуумов или просто пространством модулей. Термин "модули" также используется в теории струн для обозначения различных непрерывных параметров, определяющих возможные фоны струн: вакуумное среднее значение поля дилатона, параметры (например, радиус и комплексная структура), определяющие форму компактифицированного многообразия, и так далее. Эти параметры в квантовой теории поля, аппроксимирующей теорию струн при низких энергиях, представлены вакуумными средними значениями безмассовых скалярных полей, что согласуется с вышеописанным использованием. В теории струн термин "пространство модулей" часто используется конкретно для обозначения пространства всех возможных фонов струн.

Модульные пространства суперсимметричных теорий калибра

В общих квантовых теориях поля, даже если классическая потенциальная энергия минимизируется для большого набора возможных ожидаемых значений, после включения квантовых поправок почти все эти конфигурации перестают быть состояниями с минимальной энергией. В результате, множество вакуумов квантовой теории, как правило, значительно меньше, чем в классической теории. Примечательное исключение составляет случай, когда различные рассматриваемые вакуумы связаны симметрией, гарантирующей точную вырожденность их энергетических уровней. Ситуация существенно иная в суперсимметричных квантовых теориях поля. Как правило, они обладают большими пространствами модулей вакуума, не связанными никакой симметрией, например, массы различных возбуждений могут различаться в разных точках пространства модулей. Пространства модулей суперсимметричных калибровочных теорий, как правило, легче вычислять, чем для не-суперсимметричных теорий, поскольку суперсимметрия ограничивает допустимые геометрии пространства модулей даже с учетом квантовых поправок.

Допустимые модульные пространства 4-мерных теорий

Чем больше суперсимметрии, тем сильнее ограничение на многообразии вакуума. Следовательно, если ограничение возникает для заданного числа N спиноров суперзарядов, то оно также справедливо для всех больших значений N.

N=1 теории

Первое ограничение на геометрию модульного пространства было найдено в 1979 году Бруно Цумино и опубликовано в статье "Суперсимметрия и многообразия Кэлера". Он рассматривал N=1 теорию в 4 измерениях с глобальной суперсимметрией. N=1 означает, что фермионные компоненты алгебры суперсимметрии могут быть объединены в единый майорановский сверхзаряд. Единственными скалярными полями в такой теории являются комплексные скаляры хиральных суперполей. Он обнаружил, что многообразие вакуумов допустимых вакуумных средних значений для этих скаляров является не только комплексным, но и многообразием Кэлера. Если гравитация включена в теорию, так что существует локальная суперсимметрия, то полученная теория называется теорией супергравитации, и ограничение на геометрию модульного пространства становится более строгим. Модульное пространство должно быть не только кэлеровым, но и кэлерова форма должна переходить в интегральную когомологию. Такие многообразия называются многообразиями Ходжа. Первый пример появился в статье 1979 года "Спонтанное нарушение симметрии и эффект Хиггса в супергравитации без космологической постоянной", а общее утверждение было сформулировано 3 года спустя в статье "Квантование постоянной Ньютона в некоторых теориях супергравитации".

N=2 Теории

В расширенных 4-мерных теориях с N=2 суперсимметрией, соответствующей одному спинорному сверхзаряду Дирака, условия становятся более строгими. Алгебра N=2 суперсимметрии содержит два представления со скалярами: векторный мультиплет, содержащий комплексный скаляр, и гипермультиплет, содержащий два комплексных скаляра. Пространство модулей векторных мультиплетов называется кулоновской ветвью, а пространство модулей гипермультиплетов – ветвью Хиггса. Общее пространство модулей локально является произведением этих двух ветвей, поскольку теоремы о неперенормируемости подразумевают, что метрика каждой из них независима от полей другого мультиплета. (См., например, Argyres, Непертурбативная динамика четырехмерных суперсимметричных теорий поля, с. 6–7, для дальнейшего обсуждения структуры локального произведения.) В случае глобальной N=2 суперсимметрии, то есть при отсутствии гравитации, кулоновская ветвь пространства модулей является специальным кэлеровым многообразием. Первый пример этого ограничения появился в статье 1984 года «Потенциалы и симметрии общей калибровочной N=2 сверхгравитации: модели Янга-Миллса» Бернарда де Вита и Антуана Ван Пройена, а общее геометрическое описание лежащей в основе геометрии, называемой специальной геометрией, было представлено Эндрю Стромингером в его статье 1990 года «Специальная геометрия». Ветвь Хиггса является гиперкэлеровым многообразием, как показали Луис Альварес-Гауме и Дэниел Фридман в своей статье 1981 года «Геометрическая структура и ультрафиолетовая конечность в суперсимметричной сигма-модели». При включении гравитации суперсимметрия становится локальной. Тогда к специальной кэлеровой кулоновской ветви необходимо добавить то же условие Ходжа, что и в случае N=1. Джонатан Баггер и Эдвард Виттен продемонстрировали в своей работе 1982 года «Сопряжения материи в N=2 сверхгравитации», что в этом случае ветвь Хиггса должна быть кватернионным кэлеровым многообразием.

N>2 Суперсимметрия

В расширенных супергравитациях с N>2 пространство модулей всегда является симметричным пространством.