Введение

Полиформа с правильным шестиугольником в качестве базовой формы.

В рекреационной математике полигекс — это полиформа с правильным шестиугольником (или "гекс" для краткости) в качестве базовой формы, построенная путём соединения одного или нескольких шестиугольников. Отдельные формы называются по количеству шестиугольников: моногекс, дигекс, тригекс, тетрагекс и так далее. Они были названы Дэвидом Кларнером, который их исследовал. Каждая отдельная полигексальная фигура и мозаики из полигексов могут быть изображены на регулярной шестиугольной сетке.

Правила строительства

Правила соединения шестиугольников могут различаться. Однако, как правило, применяются следующие правила:

Два шестиугольника могут соединяться только по общему краю и должны полностью совпадать по длине этого края. Два шестиугольника не должны перекрываться. Полигекс должен быть соединенным. Конфигурации из разъединенных базовых многоугольников не квалифицируются как полигексы. Зеркальное отражение асимметричного полигекса не рассматривается как отличный полигекс (полигексы считаются "двусторонними").

Свойства тесселяции

Все полигексы, состоящие менее чем из пяти шестиугольников, могут образовывать хотя бы одну правильную замощение плоскости. Кроме того, замощения дигекса и прямых полигексов инвариантны относительно вращения на 180 градусов или отражения параллельно или перпендикулярно длинной оси дигекса (симметрия вращения 2-го порядка и симметрия отражения 4-го порядка), а шестиугольное замощение и некоторые другие полигексы (например, гексагекс с одним отверстием, показанный ниже) инвариантны относительно вращения на 60, 120 или 180 градусов (симметрия вращения и отражения 6-го порядка). Более того, шестиугольник является гексамондом, поэтому все полигексы также являются различными полиамондами. Также, поскольку равносторонний треугольник можно представить как шестиугольник, состоящий из трех меньших равносторонних треугольников, можно наложить большой полиамонд на любой полигекс, получив два полиамонда, соответствующих каждому полигексу. Это используется как основание для бесконечного деления шестиугольника на все более мелкие шестиугольники (апериодическое замощение) или на шестиугольники и треугольники.

Симметрия

Из полигексов до гексагексов 2 обладают 6-кратной вращательной и зеркальной симметрией (следовательно, также 3-кратной и 2-кратной симметрией), это моногекс и гексагекс с отверстием. 3 других обладают 3-кратной вращательной (компактный тригекс, тетрагекс, напоминающий пропеллер, и гексагекс, похожий на равносторонний треугольник) и 3-кратной зеркальной симметрией. 9 других обладают 2-кратной вращательной и зеркальной симметрией, 8 – только 2-кратной вращательной, 16 – только 2-кратной зеркальной, а остальные 78 (в основном тетрагексы, пентагексы или гексагексы) являются асимметричными. Замостители большинства полигексов с зеркальной симметрией также инвариантны относительно скользящих отражений того же порядка, что и длина полигекса.

Монохексы

Есть один моногекс. Он покрывает плоскость правильной шестиугольной мозаикой.

Тетрагексы

Есть 7 свободных и двухсторонних тетрахексов. Они называются в следующем порядке: бар, червь, пистолет, пропеллер, арка, пчела и волна.