Введение
Форма, образованная из равнобедренных прямоугольных треугольников.
В рекреационной математике полияболо (также известное как политан) — это фигура, образованная склеиванием равнобедренных прямоугольных треугольников по сторонам, создающая полиформу, в основе которой лежит равнобедренный прямоугольный треугольник. Полиаболы были представлены Мартином Гарднером в его июньской колонке «Математические игры» в журнале Scientific American.
Номенклатура
Название полиаболо образовано обратным способом от жонглирующего объекта «диаболо», хотя фигура, образованная соединением двух треугольников только в одной вершине, не является настоящим полиаболо. По ложной аналогии, если рассматривать «di» в слове «диаболо» как означающее «два», полиаболо с от одной до десяти ячеек соответственно называются моноаболо, диаболо, триаболо, тетраболо, пентаболо, гексаболо, гептаболо, октаболо, энеаболо и декаболо. Название политан происходит от названия тетратана, созданного Анри Пиччиотто, и отсылает к древней китайской забаве танграм.
Комбинационное перечисление
Существует два способа, которыми квадрат в полиаболе может состоять из двух равнобедренных прямоугольных треугольников, но полиаболы считаются эквивалентными, если у них одинаковые границы. Количество неэквивалентных полиаболов, состоящих из 1, 2, 3, треугольников, равно 1, 3, 4, 14, 30, 107, 318, 1116, 3743. Полиаболы, которые ограничены строго плоскостью и не могут быть перевернуты, называются односторонними. Число односторонних полиаболов, состоящих из 1, 2, 3, треугольников, равно 1, 4, 6, 22, 56, 198, 624, 2182, 7448. Аналогично полиомино, полиаболо, который нельзя перевернуть или повернуть, можно назвать фиксированным. Полиаболе без симметрий (поворота или отражения) соответствует 8 различных фиксированных полиаболов. Несвязный полиаболо – это полиаболо, имеющий одно или несколько отверстий. Наименьшее значение n, для которого n-аболо является несвязным, равно 7.
Polyaboloes that are confined strictly to the plane and cannot be turned over may be termed one sided. The number of one sided polyaboloes composed of 1, 2, 3, triangles is 1, 4, 6, 22, 56, 198, 624, 2182, 7448,
As for a polyomino, a polyabolo that can be neither turned over nor rotated may be termed fixed. A polyabolo with no symmetries (rotation or reflection) corresponds to 8 distinct fixed polyaboloes. A non simply connected polyabolo is one that has one or more holes in it. The smallest value of n for which an n abolo is non simply connected is 7.
Площадки прямоугольников с копиями одного полиабола
В 1968 году Дэвид А. Кларнер определил порядок полиомино. Аналогично, порядок полиябола P можно определить как минимальное количество конгруэнтных копий P, которые можно собрать (допуская сдвиг, вращение и отражение) для формирования прямоугольника. Полиаболо имеет порядок 1 тогда и только тогда, когда оно само является прямоугольником. Полиаболы второго порядка также легко узнаваемы. Соломон В. Голомб обнаружил полиаболы, включая триаболо, порядка 8. Майкл Рид нашёл гептаболо порядка 6. Возможны и более высокие порядки. Существуют интересные замощения евклидовой плоскости с использованием полиаболов. Одним из таких является тетракис-квадратное замощение, моноэдральное замощение, которое заполняет всю евклидову плоскость треугольниками 45-45-90.
Облицовка общей фигуры различными полиаболами
Проблема совместимости заключается в том, чтобы взять два или более полиаболо и найти фигуру, которую можно замостить каждым из них. Эта проблема изучалась значительно меньше, чем проблема совместимости для полиомино. Систематические результаты впервые появились в 2004 году на веб-сайте Эриха Фридмана Math Magic.