Введение

В математической дисциплине комплексного анализа аналитическая ёмкость компактного подмножества K комплексной плоскости — это число, которое показывает, насколько большой может быть ограниченная аналитическая функция на C \ K. Грубо говоря, γ(K) измеряет размер единичного шара пространства ограниченных аналитических функций вне K. Впервые она была введена Ларсом Ахлфорсом в 1940-х годах при изучении устранимости особых точек ограниченных аналитических функций.

Вынимаемые наборы и проблема Пайнлеве

Компактное множество K называется устранимым, если для любого открытого множества Ω, содержащего K, любая функция, ограниченная и голоморфная на множестве Ω \ K, имеет аналитическое продолжение на все Ω. По теореме Римана об устранимых особенностях, любое одноэлементное множество устранимо. Это побудило Пэнлеве в 1880 году задать более общий вопрос: "Какие подмножества ℂ устранимы?". Легко видеть, что K устранимо тогда и только тогда, когда γ(K) = 0. Однако аналитическая ёмкость – это чисто комплексно-аналитическое понятие, и для получения более геометрической характеристики требуется значительно больше работы.

Функция Ahlfors

Для каждого компактного множества K ⊂ C существует единственная экстремальная функция, то есть такая, что f(∞) = 0 и f'(∞) = γ(K). Эта функция называется функцией Альфорса для K. Её существование можно доказать, используя аргумент с нормальной семейством, включающий теорему Монтеля.

Аналитическая способность в терминах измерения Хаусдорфа

Пусть dimH обозначает размерность Хаусдорфа, а H1 — одномерную меру Хаусдорфа. Тогда H1(K) = 0 влечет γ(K) = 0, а dimH(K) > 1 гарантирует γ(K) > 0. Однако случай, когда dimH(K) = 1 и H1(K) ∈ (0, ∞], является более сложным.

Положительная длина, но нулевая аналитическая способность

Учитывая частичное соответствие между одномерной мерой Хаусдорфа компактного подмножества C и его аналитической ёмкостью, можно предположить, что γ(K) = 0 влечёт H1(K) = 0. Однако это предположение неверно. Контрпример был впервые приведен А. Г. Витушкиным, а гораздо более простой – Джоном Б. Гарнеттом в его статье 1970 года. Этот последний пример – линейный канторово множество с четырьмя углами, построенное следующим образом:

Пусть K0 := [0, 1] × [0, 1] будет единичным квадратом. Тогда K1 является объединением 4 квадратов со стороной 1/4, расположенных в углах K0. В общем случае, Kn является объединением 4n квадратов (обозначаемых ) со стороной 4−n, каждый из которых расположен в углу некоторого . Пусть K будет пересечением всех Kn, при этом γ(K) = 0.

Гипотеза Витушкина

Пусть K ⊂ C будет компактным множеством. Предположение Витушкина гласит, что

где обозначает ортогональную проекцию в направлении θ. Согласно результатам, описанным выше, гипотеза Витушкина верна, когда dimHK ≠ 1. Гай Дэвид опубликовал доказательство в 1998 году гипотезы Витушкина для случая dimHK = 1 и H1(K) < ∞. В 2002 году Ксавье Толса доказал, что аналитическая ёмкость счетно полуаддитивна. То есть существует абсолютная константа C > 0, такая что если K ⊂ C – компактное множество и , где каждый Ki – множество Бореля, то теоремы Дэвида и Толсы вместе подразумевают, что гипотеза Витушкина верна, когда K является сигма-конечным по H1. В случае, когда K не является сигма-конечным по H1, Пертти Маттила в 1986 году доказал, что гипотеза ложна, но его доказательство не указывало, какое именно следствие гипотезы не выполняется. Последующие работы Джонса и Мурая привели к примеру множества с нулевой длиной Фавара и положительной аналитической ёмкостью, что явно опровергает одно из направлений гипотезы. По состоянию на 2023 год неизвестно, выполняется ли другое следствие, но Чанг и Толса достигли определенного прогресса в направлении положительного ответа.