Начальные и терминальные объекты в теории категорий

Введение

Специальные объекты, используемые в (математической) теории категорий

В теории категорий, ветви математики, начальный объект категории C — это объект I в C, такой что для каждого объекта X в C существует ровно один морфизм I → X. Двойственным понятием является понятие конечного объекта (также называемого конечным элементом): T является конечным, если для каждого объекта X в C существует ровно один морфизм X → T. Начальные объекты также называются котерминальными или универсальными, а конечные объекты также называются финальными. Если объект является одновременно начальным и конечным, он называется нулевым объектом. Категория с нулевым объектом называется категорией с выделенным объектом. Строгий начальный объект I — это объект, для которого каждый морфизм в I является изоморфизмом.

Примеры

Пустое множество — это уникальный начальный объект в Set, категории множеств. Каждое одноэлементное множество (синглтон) является терминальным объектом в этой категории; нулевых объектов нет. Аналогично, пустое пространство является уникальным начальным объектом в Top, категории топологических пространств, и каждое одноточечное пространство является терминальным объектом в этой категории. В категории Rel множеств и отношений пустое множество является уникальным начальным объектом, уникальным терминальным объектом и, следовательно, уникальным нулевым объектом. В категории указанных множеств (чьи объекты являются непустыми множествами вместе с выделенным элементом; морфизм из (A, a) в (B, b) — это функция f : A → B такая, что f(a) = b), каждый синглтон является нулевым объектом. Аналогично, в категории указанных топологических пространств каждый синглтон является нулевым объектом. В Grp, категории групп, любая тривиальная группа является нулевым объектом. Тривиальный объект также является нулевым объектом в Ab, категории абелевых групп, Rng — категории псевдоколец, R Mod — категории модулей над кольцом и K Vect — категории векторных пространств над полем. Подробности см. в статье «Нулевой объект (алгебра)». Это и есть происхождение термина «нулевой объект». В Ring, категории колец с единицей и морфизмами, сохраняющими единицу, кольцо целых чисел Z является начальным объектом. Нулевое кольцо, состоящее только из одного элемента 1=0=1, является терминальным объектом. В Rig, категории rigs с единицей и морфизмами, сохраняющими единицу, rig натуральных чисел N является начальным объектом. Нулевой rig, который является нулевым кольцом, состоящим только из одного элемента 1=0=1, является терминальным объектом. В Field, категории полей, нет начальных или терминальных объектов. Однако в подкатегории полей фиксированной характеристики, простое поле является начальным объектом. Любое частично упорядоченное множество (P, ≤) можно интерпретировать как категорию: объекты — это элементы P, и существует единственный морфизм из x в y, если и только если x ≤ y. Эта категория имеет начальный объект тогда и только тогда, когда P имеет наименьший элемент; она имеет терминальный объект тогда и только тогда, когда P имеет наибольший элемент. Cat, категория малых категорий с функторами в качестве морфизмов, имеет пустую категорию 0 (без объектов и морфизмов) в качестве начального объекта и терминальную категорию 1 (с одним объектом с единственным тождественным морфизмом) в качестве терминального объекта. В категории схем Spec(Z), простой спектр кольца целых чисел, является терминальным объектом. Пустая схема (равная простому спектру нулевого кольца) является начальным объектом. Предел диаграммы F можно охарактеризовать как терминальный объект в категории конусов к F. Аналогично, колимит F можно охарактеризовать как начальный объект в категории конусов из F. В категории ChR цепных комплексов над коммутативным кольцом R нулевой комплекс является нулевым объектом. В короткой точной последовательности вида 0 → a → b → c → 0 начальные и терминальные объекты — это анонимный нулевой объект. Это часто используется в теориях когомологий.

The empty set is the unique initial object in Set, the category of sets. Every one element set (singleton) is a terminal object in this category; there are no zero objects. Similarly, the empty space is the unique initial object in Top, the category of topological spaces and every one point space is a terminal object in this category. In the category Rel of sets and relations, the empty set is the unique initial object, the unique terminal object, and hence the unique zero object. In the category of pointed sets (whose objects are non empty sets together with a distinguished element; a morphism from (A, a) to (B, b) being a function f : A → B with 1=f(a) = b), every singleton is a zero object. Similarly, in the category of pointed topological spaces, every singleton is a zero object. In Grp, the category of groups, any trivial group is a zero object. The trivial object is also a zero object in Ab, the category of abelian groups, Rng the category of pseudo rings, R Mod, the category of modules over a ring, and K Vect, the category of vector spaces over a field. See Zero object (algebra) for details. This is the origin of the term "zero object". In Ring, the category of rings with unity and unity preserving morphisms, the ring of integers Z is an initial object. The zero ring consisting only of a single element 1=0 = 1 is a terminal object. In Rig, the category of rigs with unity and unity preserving morphisms, the rig of natural numbers N is an initial object. The zero rig, which is the zero ring, consisting only of a single element 1=0 = 1 is a terminal object. In Field, the category of fields, there are no initial or terminal objects. However, in the subcategory of fields of fixed characteristic, the prime field is an initial object. Any partially ordered set (P, ≤) can be interpreted as a category: the objects are the elements of P, and there is a single morphism from x to y if and only if x ≤ y. This category has an initial object if and only if P has a least element; it has a terminal object if and only if P has a greatest element. Cat, the category of small categories with functors as morphisms has the empty category, 0 (with no objects and no morphisms), as initial object and the terminal category, 1 (with a single object with a single identity morphism), as terminal object. In the category of schemes, Spec(Z), the prime spectrum of the ring of integers, is a terminal object. The empty scheme (equal to the prime spectrum of the zero ring) is an initial object. A limit of a diagram F may be characterised as a terminal object in the category of cones to F. Likewise, a colimit of F may be characterised as an initial object in the category of co cones from F.
In the category ChR of chain complexes over a commutative ring R, the zero complex is a zero object. In a short exact sequence of the form 0 → a → b → c → 0, the initial and terminal objects are the anonymous zero object. This is used frequently in cohomology theories.

Существование и уникальность

Начальные и конечные объекты не обязаны существовать в данной категории. Однако, если они существуют, то они по существу единственны. В частности, если I1 и I2 – два различных начальных объекта, то между ними существует единственный изоморфизм. Более того, если I является начальным объектом, то любой объект, изоморфный I, также является начальным объектом. То же самое верно и для конечных объектов. Для полных категорий существует теорема о существовании начальных объектов. А именно, (локально малая) полная категория C имеет начальный объект тогда и только тогда, когда существует множество I (не собственный класс) и I-индексированная семья (Ki) объектов C такая, что для любого объекта X в C существует хотя бы один морфизм Ki → X для некоторого i ∈ I.

Эквивалентные формулы

Терминальные объекты в категории C также могут быть определены как пределы уникальной пустой диаграммы '0' → C. Поскольку пустая категория по определению является дискретной, терминальный объект можно рассматривать как пустой продукт (продукт, вообще говоря, является пределом дискретной диаграммы). Дуально, начальный объект является колимитом пустой диаграммы '0' → C и может рассматриваться как пустой сопродукт или категорическая сумма. Следовательно, любой функтор, сохраняющий пределы, переводит терминальные объекты в терминальные объекты, а любой функтор, сохраняющий колимиты, переводит начальные объекты в начальные объекты. Например, начальным объектом в любой конкретной категории со свободными объектами будет свободный объект, порожденный пустым множеством (поскольку свободный функтор, будучи левым сопряженным к забывающему функтору в Set, сохраняет колимиты). Начальные и терминальные объекты также могут быть охарактеризованы в терминах универсальных свойств и сопряженных функторов. Пусть 1 — дискретная категория с единственным объектом (обозначаемым •), и пусть U : C → '1' — единственный (постоянный) функтор в 1. Тогда начальный объект I в C является универсальным морфизмом из • в U. Функтор, отображающий • в I, является левым сопряженным к U. Терминальный объект T в C является универсальным морфизмом из U в •. Функтор, отображающий • в T, является правым сопряженным к U.

Отношение к другим категорическим конструкциям

Многие естественные конструкции в теории категорий могут быть сформулированы в терминах поиска начального или конечного объекта в подходящей категории. Универсальный морфизм из объекта X в функтор U может быть определен как начальный объект в категории запятой (X ↓ U). Двойственно, универсальный морфизм из U в X является конечным объектом в (U ↓ X). Предел диаграммы F — это конечный объект в Cone(F), категории конусов к F. Двойственно, копредел F — это начальный объект в категории конусов из F.
Представление функтора F в Set — это начальный объект в категории элементов F.
Понятие финального функтора (соответственно, начального функтора) является обобщением понятия финального объекта (соответственно, начального объекта).

Другие свойства

Эндоморфизм моноида начального или конечного объекта I тривиален: если категория C имеет нулевой объект 0, то для любой пары объектов X и Y в C единственная композиция X → 0 → Y является нулевым морфизмом из X в Y.