Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике поверхность дель Пеццо или поверхность Фано — это двумерное фановое многообразие, то есть несингулярная проективная алгебраическая поверхность с ample антиканоническим классом дивизоров. Они в некотором смысле противоположны поверхностям общего типа, канонические классы которых большие. Они названы в честь Паскуале дель Пеццо, который изучал поверхности с более строгим условием, что они имеют very ample антиканонический класс дивизоров, или, другими словами, поверхности со степенью n вложения в n-мерное проективное пространство, которые и являются поверхностями дель Пеццо степени не менее 3.
In mathematics, a del Pezzo surface or Fano surface is a two dimensional Fano variety, in other words a non singular projective algebraic surface with ample anticanonical divisor class. They are in some sense the opposite of surfaces of general type, whose canonical class is big. They are named for Pasquale del Pezzo who studied the surfaces with the more restrictive condition that they have a very ample anticanonical divisor class, or in his language the surfaces with a degree n embedding in n dimensional projective space , which are the del Pezzo surfaces of degree at least 3.
Примеры
Степень 1: у них 240 (−1) кривых, соответствующих корням корневой системы E8. Они образуют 8-мерную семью. Антиканонический делитель не очень обилен. Линейная система |−2K| определяет отображение 2-й степени с поверхности дель Пеццо на квадратичный конус в P3, разветвленное над несингулярной кривой рода 4, вырезанной кубической поверхностью. Степень 2: у них 56 (−1) кривых, соответствующих миниатюрным векторам двойственной решетки E7. Они образуют 6-мерную семью. Антиканонический делитель не очень обилен, и его линейная система определяет отображение с поверхности дель Пеццо на проективную плоскость, разветвленное над квартичной плоской кривой. Это отображение обычно 2 к 1, поэтому эта поверхность иногда называется двойной плоскостью дель Пеццо. 56 прямых на поверхности дель Пеццо отображаются попарно в 28 битангенты квартики. Степень 3: по сути, это кубические поверхности в P3; кубическая поверхность является образом антиканонического вложения. У них 27 (−1) кривых, соответствующих миниатюрным векторам одного косета в двойственной решетке E6, которые отображаются в 27 прямых кубической поверхности. Они образуют 4-мерную семью. Степень 4: по сути, это поверхности Сегре в P4, заданные пересечением двух квадрик. У них 16 (−1) кривых. Они образуют 2-мерную семью. Степень 5: у них 10 (−1) кривых, соответствующих миниатюрным векторам одного косета в двойственной решетке A4. До изоморфизма существует только одна такая поверхность, заданная раздуванием проективной плоскости в 4 точках, не лежащих на одной прямой. Степень 6: у них 6 (−1) кривых. До изоморфизма существует только одна такая поверхность, заданная раздуванием проективной плоскости в 3 точках, не лежащих на одной прямой. Корневая система A2 × A1.
Degree 1: they have 240 (−1) curves corresponding to the roots of an E8 root system. They form an 8 dimensional family. The anticanonical divisor is not very ample. The linear system |−2K| defines a degree 2 map from the del Pezzo surface to a quadratic cone in P3, branched over a nonsingular genus 4 curve cut out by a cubic surface. Degree 2: they have 56 (−1) curves corresponding to the minuscule vectors of the dual of the E7 lattice. They form a 6 dimensional family. The anticanonical divisor is not very ample, and its linear system defines a map from the del Pezzo surface to the projective plane, branched over a quartic plane curve. This map is generically 2 to 1, so this surface is sometimes called a del Pezzo double plane. The 56 lines of the del Pezzo surface map in pairs to the 28 bitangents of a quartic. Degree 3: these are essentially cubic surfaces in P3; the cubic surface is the image of the anticanonical embedding. They have 27 (−1) curves corresponding to the minuscule vectors of one coset in the dual of the E6 lattice, which map to the 27 lines of the cubic surface. They form a 4 dimensional family. Degree 4: these are essentially Segre surfaces in P4, given by the intersection of two quadrics. They have 16 (−1) curves. They form a 2 dimensional family. Degree 5: they have 10 (−1) curves corresponding to the minuscule vectors of one coset in the dual of the A4 lattice. There is up to isomorphism only one such surface, given by blowing up the projective plane in 4 points with no 3 on a line. Degree 6: they have 6 (−1) curves. There is up to isomorphism only one such surface, given by blowing up the projective plane in 3 points not on a line. The root system is A2 × A1
Степень 7: у них 3 (−1) кривых. До изоморфизма существует только одна такая поверхность, заданная раздуванием проективной плоскости в 2 различных точках. Степень 8: у них 2 типа изоморфизма. Один из них — поверхность Хирцебруха, полученная раздуванием проективной плоскости в одной точке, которая имеет 1 (−1) кривую. Другой — произведение двух проективных прямых, которое является единственной поверхностью дель Пеццо, которую нельзя получить, начиная с проективной плоскости и раздувая точки. Её группа Пикара — четная 2-мерная унимодулярная неопределенная решетка II1,1, и она не содержит (−1) кривых. Степень 9: единственная поверхность дель Пеццо 9-й степени — P2. Её антиканоническое вложение — это вложение Веронезе 3-й степени в P9 с использованием линейной системы кубик.
Degree 7: they have 3 (−1) curves. There is up to isomorphism only one such surface, given by blowing up the projective plane in 2 distinct points. Degree 8: they have 2 isomorphism types. One is a Hirzebruch surface given by the blow up of the projective plane at one point, which has 1 (−1) curves. The other is the product of two projective lines, which is the only del Pezzo surface that cannot be obtained by starting with the projective plane and blowing up points. Its Picard group is the even 2 dimensional unimodular indefinite lattice II1,1, and it contains no (−1) curves. Degree 9: The only degree 9 del Pezzo surface is P2. Its anticanonical embedding is the degree 3 Veronese embedding into P9 using the linear system of cubics.
Слабые поверхности дель Пеццо
Слабая поверхность дель Пеццо — это полная несингулярная поверхность с антиканоническим расслоением, которое является неэффективным и большим. Сжатие любой (−1)-кривой на слабой поверхности дель Пеццо даёт слабую поверхность дель Пеццо степени на 1 большей. Продувание любой точки на слабой поверхности дель Пеццо даёт слабую поверхность дель Пеццо степени на 1 меньшей, при условии, что точка не лежит на (−2)-кривой и степень больше 1. Любая кривая на слабой поверхности дель Пеццо имеет число самопересечений не меньше −2. Число кривых с числом самопересечений −2 не превышает 9−d, а число кривых с числом самопересечений −1 конечно.
A weak del Pezzo surface is a complete non singular surface with anticanonical bundle that is nef and big. The blowdown of any (−1) curve on a weak del Pezzo surface is a weak del Pezzo surface of degree 1 more. The blowup of any point on a weak del Pezzo surface is a weak del Pezzo surface of degree 1 less, provided that the point does not lie on a −2 curve and the degree is greater than 1. Any curve on a weak del Pezzo surface has self intersection number at least −2. The number of curves with self intersection number −2 is at most 9−d, and the number of curves with self intersection number −1 is finite.