Введение

Понятие в экономике

Гипотеза ожидаемой полезности является фундаментальным предположением в математической экономике, касающимся принятия решений в условиях неопределенности. Она постулирует, что рациональные агенты максимизируют полезность, то есть субъективную ценность своих действий. Теория рационального выбора, краеугольный камень микроэкономики, основывается на этом постулате для моделирования совокупного социального поведения. Гипотеза ожидаемой полезности утверждает, что агент выбирает между рискованными вариантами, сравнивая значения ожидаемой полезности (то есть взвешенную сумму произведений значений полезности выигрышей на их вероятности). Обобщенная формула ожидаемой полезности имеет вид: где – вероятность реализации исхода с индексом и выигрышем , а функция u выражает полезность каждого соответствующего выигрыша. Графически кривизна функции u отражает отношение агента к риску. Стандартные функции полезности отражают порядковые предпочтения. Гипотеза ожидаемой полезности накладывает ограничения на функцию полезности и делает ее кардинальной (хотя она все еще не сопоставима между разными индивидуумами). Несмотря на то, что гипотеза ожидаемой полезности является стандартной в экономическом моделировании, в психологических экспериментах было установлено, что она не всегда выполняется. На протяжении многих лет психологи и экономисты разрабатывают новые теории для объяснения этих несоответствий, включая теорию перспективы, ожидаемую полезность, зависящую от ранга, кумулятивную теорию перспективы и теорию ограниченной рациональности.

Субъективная представленная Савидж ожидаемая полезность

В 1950-х годах американский статистик Леонард Джимми Сэвидж разработал структуру для понимания ожидаемой полезности. В то время она считалась первым и наиболее полным обоснованием этой концепции. Структура Сэвиджа включала доказательство того, что ожидаемая полезность может быть использована для оптимального выбора между несколькими действиями посредством семи аксиом. В своей книге «Основы статистики» Сэвидж объединил нормативное описание принятия решений в условиях риска (когда вероятности известны) и неопределенности (когда вероятности объективно неизвестны). Сэвидж пришел к выводу, что люди нейтрально относятся к неопределенности и что наблюдений достаточно для прогнозирования вероятностей неопределенных событий. Ключевым методологическим аспектом структуры Сэвиджа является ее сосредоточенность на наблюдаемом выборе. Когнитивные процессы и другие психологические аспекты принятия решений имеют значение лишь в той мере, в которой они имеют непосредственно измеримые последствия для выбора. Теория субъективной ожидаемой полезности объединяет два понятия: во-первых, функцию личной полезности, а во-вторых, личное распределение вероятностей (обычно основанное на байесовской теории вероятностей). Эта теоретическая модель известна своей четкой и элегантной структурой, и некоторые исследователи считают ее одной из «самых блестящих аксиоматических теорий полезности, когда-либо разработанных». Вместо того чтобы исходить из вероятности события, Сэвидж определяет ее через предпочтения относительно действий. Сэвидж использовал состояния (то, что не поддается вашему контролю) для расчета вероятности события, а полезность и внутренние предпочтения – для прогнозирования исхода события. Сэвидж предполагал, что каждого действия и состояния достаточно для однозначного определения исхода. Однако это предположение не работает в тех случаях, когда у индивида недостаточно информации о событии. Кроме того, он считал, что исходы должны обладать одинаковой полезностью независимо от состояния. Поэтому важно правильно определить, какое утверждение следует считать исходом. Например, фраза «Я получил работу» не является исходом, поскольку полезность этого утверждения будет различаться для каждого человека в зависимости от таких внутренних факторов, как финансовая необходимость или мнение о компании. Поэтому ни одно состояние не может исключить выполнение какого-либо действия; лишь одновременная оценка состояния и действия позволяет с уверенностью определить исход.

Теорема представления Савэжа

Теорема представления Савиджа (Savage, 1954) Предпочтение < удовлетворяет P1–P7 тогда и только тогда, когда существует конечно аддитивная мера вероятности P и функция u : C → R, такая что для каждой пары действий f и g.

Полнота предполагает, что у индивида есть четко определенные предпочтения и он всегда может сделать выбор между любыми двумя альтернативами. Аксиома (полнота): для каждого и каждого либо , либо , либо оба. Это означает, что индивид предпочитает , или безразличен между и .

Транзитивность предполагает, что, поскольку индивид принимает решения в соответствии с аксиомой полноты, индивид также принимает решения последовательно. Аксиома (транзитивность): для каждого и с условием и , мы должны иметь .

Независимость от несущественных альтернатив также относится к четко определенным предпочтениям. Она предполагает, что две лотереи, смешанные с несущественной третьей, сохранят тот же порядок предпочтения, что и при представлении этих двух лотерей независимо от третьей. Аксиома независимости является наиболее спорной аксиомой.

Аксиома (независимость от несущественных альтернатив): для каждого такого, что , предпочтение должно выполняться для каждой лотереи и действительного числа .

Непрерывность предполагает, что когда есть три лотереи ( и ) и индивид предпочитает , а , то должна существовать возможная комбинация и , в которой индивид будет безразличен между этой смесью и лотереей .

Аксиома (непрерывность): Пусть и будут лотереями с условием . Тогда одинаково предпочтительна для некоторого .

Если все эти аксиомы выполнены, то индивид считается рациональным, и его предпочтения могут быть представлены функцией полезности, то есть можно присвоить числа (утилиты) каждому исходу лотереи таким образом, что выбор наилучшей лотереи в соответствии с предпочтением эквивалентен выбору лотереи с наивысшей ожидаемой полезностью. Этот результат называется теоремой представления полезности фон Неймана-Моргенштерна. Другими словами, если поведение индивида всегда удовлетворяет вышеуказанным аксиомам, то существует функция полезности, такая что индивид выберет одну лотерею вместо другой, если и только если ожидаемая полезность первой превышает ожидаемую полезность второй. Ожидаемая полезность любой лотереи может быть выражена как линейная комбинация утилит исходов, где весами являются соответствующие вероятности. Функции полезности также обычно являются непрерывными функциями. Такие функции полезности также называют функциями полезности фон Неймана-Моргенштерна (vNM). Это центральная тема гипотезы ожидаемой полезности, в которой индивид выбирает не наибольшее ожидаемое значение, а наибольшую ожидаемую полезность. Индивид, максимизирующий ожидаемую полезность, принимает рациональные решения, основанные на аксиомах теории. Формулировка фон Неймана-Моргенштерна важна в применении теории множеств к экономике, поскольку она была разработана вскоре после "порядковой революции" Хикса-Аллена 1930-х годов и возродила идею кардинальной полезности в экономической теории. Однако, хотя в этом контексте функция полезности является кардинальной, в том смысле, что подразумеваемое поведение изменится при нелинейном монотонном преобразовании полезности, функция ожидаемой полезности является ординальной, поскольку любое монотонное возрастающее преобразование ожидаемой полезности дает то же самое поведение.

Оценка риска в контексте ожидаемой полезности

Часто люди понимают под "риском" потенциально количественно определяемую величину. В контексте анализа "средняя дисперсия" дисперсия используется в качестве меры риска доходности портфеля; однако это справедливо только в том случае, если доходность имеет нормальное или эллиптическое распределение, или в маловероятном случае, когда функция полезности имеет квадратичную форму. Однако Дэвид Э. Белл предложил меру риска, которая естественно вытекает из определенного класса функций полезности фон Неймана-Моргенштерна. Пусть полезность богатства задана выражением

для индивидуально специфических положительных параметров a и b. Тогда математическое ожидание полезности задается выражением

Следовательно, мера риска равна , которая различается для разных индивидуумов, если у них разные значения параметра , позволяя разным людям по-разному оценивать степень риска, связанного с конкретным портфелем. Индивидуумы, использующие одну и ту же меру риска (на основе заданного значения a), могут выбирать разные портфели, поскольку у них могут быть разные значения b. См. также "Энтропийная мера риска". Однако для функций полезности общего вида анализ математического ожидания полезности не позволяет разделить выражение предпочтений на два параметра, один из которых представляет собой математическое ожидание переменной, а другой – ее риск.

Парадокс Санкт-Петербурга

Парадокс Санкт-Петербурга, представленный Николасом Бернулли, иллюстрирует, что принятие решений, основанных на математическом ожидании денежных выигрышей, приводит к абсурдным выводам. Если функция распределения вероятностей имеет бесконечное математическое ожидание, человек, ориентирующийся исключительно на ожидаемые значения азартной игры, готов заплатить сколь угодно большую конечную сумму за участие в ней. Однако этот эксперимент показал, что не существует верхней границы потенциальных выигрышей от событий с очень низкой вероятностью. В гипотетической постановке человек многократно подбрасывает монету. Размер выигрыша участника определяется количеством последовательных выпадений орла. Каждый раз, когда выпадает орел (вероятность 1/2), выигрыш участника удваивается. Игра заканчивается, когда выпадает решка. Игрок, руководствующийся только математическим ожиданием выигрыша, должен быть готов заплатить любую конечную сумму, поскольку эта стоимость участия всегда будет меньше, чем бесконечное математическое ожидание игры. Однако в реальности люди поступают иначе. "Лишь немногие участники согласились заплатить максимум 25 долларов за участие в игре, поскольку многие из них испытывали неприятие риска и не желали делать ставку на крайне маловероятное событие по очень высокой цене."

Критика

В первые дни развития теории вероятностей классические утилитаристы полагали, что вариант с наибольшей полезностью принесет агенту больше удовольствия или счастья и, следовательно, должен быть выбран. Основная проблема теории ожидаемой ценности заключается в том, что может не существовать единственного верного способа количественно оценить полезность или определить оптимальные компромиссы. Например, некоторые компромиссы могут быть неосязаемыми или качественными. Помимо денежных стимулов, в полезность можно включать и другие желательные блага, такие как удовольствие, знания, дружба и т.д. Изначально общая полезность потребителя представлялась как сумма независимых полезностей товаров. Однако от теории ожидаемой ценности отказались, поскольку она считалась слишком статичной и детерминированной. Классическим контрпримером к теории ожидаемой ценности (где все принимают один и тот же "правильный" выбор) является парадокс Санкт-Петербурга. Как и любая математическая модель, теория ожидаемой полезности является упрощением реальности. Математическая корректность теории ожидаемой полезности и значимость ее базовых понятий не гарантируют, что она является надежным ориентиром для человеческого поведения или оптимальной практики. Математическая ясность теории ожидаемой полезности помогла ученым разработать эксперименты для проверки ее адекватности и выявления систематических отклонений от ее предсказаний. Это привело к возникновению области поведенческих финансов, которая выявила отклонения от теории ожидаемой полезности, чтобы учесть эмпирические данные. Другие критики утверждают, что применение теории ожидаемой полезности к экономическим и политическим решениям привело к неадекватным оценкам, особенно в ситуациях, когда денежные единицы используются для оценки полезности неденежных результатов, таких как смертность.

Консерватизм в обновлении убеждений

Психологи выявили систематические ошибки в вычислениях вероятностей и в поведении людей. Это подтверждается примерами, такими как задача Монти Холла, где было показано, что люди не корректируют свои убеждения в соответствии с эмпирическими вероятностями, а также что вероятности нельзя применять к единичным случаям. С другой стороны, для обновления распределений вероятностей на основе новых данных стандартным методом является использование условной вероятности, а именно правила Байеса. Эксперимент по пересмотру убеждений показал, что люди изменяют свои убеждения быстрее, используя байесовские методы, чем полагаясь на интуитивные оценки. Согласно эмпирическим данным, в теории принятия решений практически не уделяется внимания различию между проблемой обоснования теоретических положений, касающихся свойств рациональных убеждений и предпочтений, и самой проблемой рациональности. Одна из основных причин этого заключается в том, что базовые вкусы и предпочтения людей в отношении потерь не могут быть адекватно представлены функцией полезности, поскольку они меняются в зависимости от контекста.

Перемены предпочтения в отношении неопределенных результатов

Начиная с таких исследований, как Lichtenstein & Slovic (1971), было обнаружено, что испытуемые иногда демонстрируют изменение предпочтений при оценке эквивалентов определенности для различных лотерей. В частности, при определении эквивалентов определенности испытуемые, как правило, оценивают "p-лотереи" (лотереи с высокой вероятностью выигрыша небольшого приза) ниже, чем "$-лотереи" (лотереи с низкой вероятностью выигрыша крупного приза). Однако, когда испытуемых просят напрямую сравнить лотереи и выбрать предпочтительную, они часто предпочитают "p-лотереи" "$-лотереям". Многие исследования рассматривали этот феномен "обращения предпочтений" как с экспериментальной (например, Plott & Grether, 1979), так и с теоретической (например, Holt, 1986) точки зрения, показывая, что такое поведение можно согласовать с неоклассической экономической теорией при определенных допущениях.