Введение
В алгебраической геометрии торическое многообразие или вложение тора — это алгебраическое многообразие, содержащее алгебраический тор в качестве открытого плотного подмножества, такое что действие тора на себя расширяется на всё многообразие. Некоторые авторы также требуют, чтобы оно было нормальным. Торические многообразия образуют важный и богатый класс примеров в алгебраической геометрии, которые часто служат полигоном для проверки теорем. Геометрия торического многообразия полностью определяется комбинаторикой его ассоциированного веера, что часто делает вычисления значительно более управляемыми. Для определённого специального, но всё же достаточно общего класса торических многообразий эта информация также кодируется в многограннике, что создаёт мощную связь предмета с выпуклой геометрией. Примерами торических многообразий являются аффинное пространство, проективные пространства, произведения проективных пространств и расслоения над проективным пространством.
Торические сорта из тори
Первоначальной мотивацией к изучению торических многообразий было изучение вложений торов. Для заданного алгебраического тора T, группа символов Hom(T, ℂˣ) образует решетку. Для заданного набора точек A, являющегося подмножеством этой решетки, каждая точка определяет отображение в ℂ, и, следовательно, набор определяет отображение в ℂ|A|. Взяв замыкание Зариски образа такого отображения, мы получаем аффинное многообразие. Если набор точек решетки A порождает решетку символов, то это многообразие является вложением тора. Аналогичным образом можно построить параметризованное проективное торическое многообразие, взяв проективное замыкание вышеуказанного отображения, рассматривая его как отображение в аффинную область проективного пространства. Для заданного проективного торического многообразия заметим, что мы можем изучать его геометрию с помощью однопараметрических подгрупп. Каждая однопараметрическая подгруппа, определяемая точкой в решетке, двойственной решетке символов, представляет собой проколотую кривую внутри проективного торического многообразия. Поскольку многообразие компактно, эта проколотая кривая имеет единственную предельную точку. Таким образом, разбивая решетку однопараметрических подгрупп по предельным точкам проколотых кривых, мы получаем веер решетки – множество полиэдрических рациональных конусов. Конусы наибольшей размерности точно соответствуют фиксированным точкам тора, являющимся пределами этих проколотых кривых.
Торическая разновидность вентилятора
Предположим, что N — абелева группа конечного ранга без кручения. Строго выпуклый рациональный полиэдрический конус в N — это выпуклый конус (в вещественном векторном пространстве N) с вершиной в начале координат, порожденный конечным числом векторов из N и не содержащий прямых, проходящих через начало координат. Эти конусы будем называть просто "конусами". Для каждого конуса σ его аффинное торическое многообразие Uσ является спектром алгебры полугрупп двойственного конуса. Вентилятор — это семейство конусов, замкнутое относительно пересечений и граней. Торическое многообразие вентилятора получается путем взятия аффинных торических многообразий, соответствующих его конусам, и склеивания их вместе, отождествляя Uσ с открытым подмногообразием Uτ, когда σ является гранью τ. Обратно, для любого вентилятора, состоящего из строго выпуклых рациональных конусов, существует соответствующее торическое многообразие. Вентилятор, связанный с торическим многообразием, кодирует важную информацию об этом многообразии. Например, многообразие гладкое, если каждый конус в его вентиляторе может быть порожден подмножеством базиса для абелевой группы N без кручения.
Морфизмы торических разновидностей
Предположим, что Δ1 и Δ2 — вентиляторы в решетках N1 и N2. Если f — линейное отображение из N1 в N2, такое что образ каждого конуса Δ1 содержится в конусе Δ2, то f индуцирует морфизм f* между соответствующими торическими многообразиями. Это отображение f* является правильным тогда и только тогда, когда прообраз |Δ2| под отображением f равен |Δ1|, где |Δ| — базовое пространство вентилятора Δ, заданное объединением его конусов.
Разрешение сингулярности
Торическое многообразие является несингулярным, если его конусы максимальной размерности порождаются базисом решетки. Из этого следует, что для любого торического многообразия существует разрешение особенностей, заданное другим торическим многообразием, которое можно построить, разбив максимальные конусы на конусы несингулярных торических многообразий.
Отношение к зеркальной симметрии
Идея торических многообразий полезна для зеркальной симметрии, поскольку интерпретация определенных данных веера как данных политопа позволяет построить зеркальные многообразия комбинаторным способом.