Введение

Алгебраическое многообразие с групповой структурой

В математике алгебраическая группа — это алгебраическое многообразие, наделённое групповой структурой, которая согласуется с его структурой как алгебраического многообразия. Таким образом, изучение алгебраических групп относится как к алгебраической геометрии, так и к теории групп. Многие группы геометрических преобразований являются алгебраическими группами; например, ортогональные группы, общие линейные группы, проективные группы, евклидовы группы и т. д. Многие матричные группы также являются алгебраическими. Другие алгебраические группы возникают естественным образом в алгебраической геометрии, такие как эллиптические кривые и якобианы. Важный класс алгебраических групп составляют аффинные алгебраические группы, те, чьё базовое алгебраическое многообразие является аффинным многообразием; они являются как раз алгебраическими подгруппами общей линейной группы и поэтому также называются линейными алгебраическими группами. Другой класс образуют абелевы многообразия, которые являются алгебраическими группами, базовым многообразием которых является проективное многообразие. Теорема о структуре Шевалье утверждает, что каждая алгебраическая группа может быть построена из групп этих двух семейств.

Определения

Формально, алгебраическая группа над полем — это алгебраическое многообразие над , снабжённое выделенным элементом (нейтральным элементом) и регулярными отображениями (операцией умножения) и (операцией взятия обратного), удовлетворяющими аксиомам группы.

Примеры

Аддитивная группа: аффинная прямая, наделенная сложением и взятием противоположного элемента как групповыми операциями, является алгебраической группой. Она называется аддитивной группой (поскольку ее точки изоморфны как группа к аддитивной группе поля ), и обычно обозначается как .

Мультипликативная группа: пусть будет аффинным многообразием, определенным уравнением в аффинной плоскости . Функции и регулярны на , и они удовлетворяют аксиомам группы (с нейтральным элементом ). Алгебраическая группа называется мультипликативной группой, потому что ее точки изоморфны мультипликативной группе поля (изоморфизм задается формулой ; обратите внимание, что подмножество обратимых элементов не определяет алгебраическую подмножественность в ).

Специальная линейная группа является алгебраической группой: она задается алгебраическим уравнением в аффинном пространстве (отождествляется с пространством матриц размера , посредством отображения ), умножение матриц является регулярным, а формула для обратной матрицы, выраженная через присоединенную матрицу, показывает, что операция взятия обратной также регулярна для матриц с детерминантом 1.

Общая линейная группа обратимых матриц над полем является алгебраической группой. Она может быть реализована как подмногообразие в , аналогично мультипликативной группе в предыдущем примере. Невырожденная кубическая кривая в проективной плоскости может быть наделена геометрически определенным групповым законом, который делает ее алгебраической группой (см. эллиптическую кривую).

Сопутствующие определения

Алгебраическая подгруппа алгебраической группы – это подмногообразие, которое также является подгруппой (то есть, отображения и , определяющие групповую структуру, переводят и соответственно в ). Морфизм между двумя алгебраическими группами – это регулярное отображение, которое также является гомоморфизмом групп. Его ядро – алгебраическая подгруппа, его образ – алгебраическая подгруппа. Работа с частными в категории алгебраических групп требует большей осторожности. Алгебраическая подгруппа называется нормальной, если она инвариантна относительно каждого внутреннего автоморфизма (которые являются регулярными отображениями). Если – нормальная алгебраическая подгруппа, то существует алгебраическая группа и сюръективный морфизм такой, что является ядром. Следует отметить, что если поле не является алгебраически замкнутым, морфизм групп может не быть сюръективным (отсутствие сюръективности измеряется когомологией Галуа).

Алгебра Лей алгебра алгебраической группы

Аналогично соответствию между группой Ли и алгеброй Ли, алгебраической группе над полем сопоставляется алгебра Ли над . Как векторное пространство, алгебра Ли изоморфна касательному пространству в единичном элементе. Скобка Ли может быть построена из её интерпретации как пространства производных.

Альтернативные определения

Более точное определение алгебраической группы над полем состоит в том, что это групповая схема над полем (групповые схемы могут быть определены в более общем виде над коммутативными кольцами). Другое определение заключается в том, что алгебраическая группа над полем является групповым объектом в категории алгебраических многообразий над полем.

Абелевы сорта

Абелевы многообразия — это связные проективные алгебраические группы, например, эллиптические кривые. Они всегда коммутативны. Они возникают естественным образом в различных ситуациях в алгебраической геометрии и теории чисел, например, как якобиан кривой.

Теорема структуры для общих алгебраических групп

Не все алгебраические группы являются линейными группами или абелевыми многообразиями, например, некоторые групповые схемы, возникающие естественным образом в арифметической геометрии, не являются ни тем, ни другим. Теорема о структуре Шевалле утверждает, что каждая связная алгебраическая группа является расширением абелева многообразия линейной алгебраической группой. Более точно, если K – совершенное поле, а G – связная алгебраическая группа над K, то в G существует единственная нормальная замкнутая подгруппа H такая, что H является связной линейной алгебраической группой, а G/H – абелевым многообразием.

Связь

Как алгебраическое многообразие несет топологию Зариски. В общем случае, это не является групповой топологией, то есть групповые операции могут быть не непрерывными относительно этой топологии (поскольку топология Зариски на произведении не является произведением топологий Зариски на множителях). Алгебраическая группа называется связной, если лежащее в ее основе алгебраическое многообразие связно относительно топологии Зариски. Для алгебраической группы это означает, что она не является объединением двух собственных алгебраических подмножеств. Примерами несвязных групп являются алгебраическая подгруппа корней n-ой степени из единицы в мультипликативной группе (каждая точка является замкнутым подмножеством Зариски, поэтому она несвязна для n > 1). Эта группа обычно обозначается как . Другой несвязной группой является ортогональная группа четной размерности (детерминант задает сюръективный морфизм в ). В более общем смысле, любая конечная группа является алгебраической группой (она может быть реализована как конечная, а следовательно, замкнутая в топологии Зариски, подгруппа некоторой группы по теореме Кейли). Кроме того, она одновременно аффинная и проективная. Таким образом, в частности, для целей классификации естественно ограничивать утверждения связными алгебраическими группами.

Алгебраические группы над локальными полями и группами Ли

Если поле является локальным полем (например, поле вещественных или комплексных чисел, или p-адическое поле) и G – группа, то группа G наделяется аналитической топологией, порожденной любым вложением в проективное пространство как квазипроективным многообразием. Это топология группы, и она превращает G в топологическую группу. Такие группы являются важными примерами в общей теории топологических групп. Если поле вещественных или комплексных чисел, то это делает G группой Ли. Не все группы Ли могут быть получены таким образом, например, универсальная накрывающая группа SL₂(ℝ) или фактор-группа группы Гейзенберга по бесконечной нормальной дискретной подгруппе. Алгебраическая группа над вещественными или комплексными числами может иметь замкнутые подгруппы (в аналитической топологии), которые не имеют той же связной компоненты единицы, что и какая-либо алгебраическая подгруппа.

Коксетерские группы и алгебраические группы

Существует ряд аналогичных результатов между алгебраическими группами и группами Коксетера – например, число элементов симметрической группы равно , а число элементов общей линейной группы над конечным полем равно (с точностью до некоторого множителя) q-факториалу; таким образом, симметрическая группа ведет себя так, как будто это линейная группа над "полем из одного элемента". Это формализуется теорией поля из одного элемента, которая рассматривает группы Коксетера как простые алгебраические группы над полем из одного элемента.