Введение

Топология на простых идеалах и алгебраических многообразиях

В алгебраической геометрии и коммутативной алгебре топология Зариски — это топология, определяемая на геометрических объектах, называемых многообразиями. Она сильно отличается от топологий, обычно используемых в вещественном или комплексном анализе; в частности, она не является хаусдорфовой. Эта топология была введена прежде всего Оскаром Зариски и позднее обобщена для того, чтобы множество простых идеалов коммутативного кольца (называемого спектром кольца) стало топологическим пространством. Топология Зариски позволяет использовать инструменты топологии для изучения алгебраических многообразий, даже когда базовое поле не является топологическим полем. Это одна из основных идей теории схем, которая позволяет строить общие алгебраические многообразия путем склеивания аффинных многообразий подобно тому, как в теории многообразий, где многообразия создаются склеиванием атласов, являющихся открытыми подмножествами вещественных аффинных пространств. Топология Зариски алгебраического многообразия — это топология, у которой замкнутые множества являются алгебраическими подмножествами многообразия. В случае алгебраического многообразия над комплексными числами топология Зариски, таким образом, грубее обычной топологии, поскольку каждое алгебраическое множество замкнуто в обычной топологии. Обобщение топологии Зариски на множество простых идеалов коммутативного кольца следует из теоремы Гильберта о нулях, которая устанавливает биективное соответствие между точками аффинного многообразия, определенного над алгебраически замкнутым полем, и максимальными идеалами кольца его регулярных функций. Это наводит на мысль об определении топологии Зариски на множестве максимальных идеалов коммутативного кольца как топологии, при которой множество максимальных идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда оно является множеством всех максимальных идеалов, содержащих данный идеал. Другая основная идея теории схем Гротендика состоит в том, чтобы рассматривать в качестве точек не только обычные точки, соответствующие максимальным идеалам, но и все (неприводимые) алгебраические многообразия, которые соответствуют простым идеалам. Таким образом, топология Зариски на множестве простых идеалов (спектре) коммутативного кольца — это топология, при которой множество простых идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда оно является множеством всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал.

Топология сортов Зариски

В классической алгебраической геометрии (то есть в той части алгебраической геометрии, где не используются схемы, введенные Гротендиком около 1960 года), топология Зариски определяется на алгебраических многообразиях. Топология Зариски, заданная на точках многообразия, такова, что замкнутыми множествами являются алгебраические подмножества многообразия. Поскольку наиболее элементарными алгебраическими многообразиями являются аффинные и проективные многообразия, полезно сделать это определение более конкретным в обоих случаях. Будем считать, что мы работаем над фиксированным алгебраически замкнутым полем k (в классической алгебраической геометрии k обычно является полем комплексных чисел).

Проективные сорта

Напомним, что n-мерное проективное пространство определяется как множество классов эквивалентности ненулевых точек в kⁿ, отождествляя две точки, различающиеся на скалярный множитель в k. Элементы кольца многочленов обычно не являются функциями на kⁿ, поскольку любая точка имеет множество представителей, дающих различные значения в многочлене; однако для однородных многочленов условие равенства нулю или ненулевому значению в любой заданной проективной точке определено однозначно, так как скалярный множитель выносится за скобки многочлена. Поэтому, если S – любое множество однородных многочленов, мы можем обоснованно говорить о…

Те же факты, что и выше, могут быть установлены для этих множеств, за исключением того, что слово "идеал" должно быть заменено фразой "однородный идеал", так что V(S), для множеств S однородных многочленов, определяет топологию на kⁿ. Как и выше, дополнения этих множеств обозначаются D(S) или, если существует вероятность путаницы, D'(S). Проективная топология Зариски определяется для проективных алгебраических множеств так же, как аффинная топология определяется для аффинных алгебраических множеств, путем взятия подпространственной топологии. Аналогично, можно показать, что эта топология определяется внутренне множествами элементов проективного кольца координат по той же формуле, что и выше.

Свойства

Важным свойством топологий Зариски является то, что они имеют базу, состоящую из простых элементов, а именно множеств D(f) для отдельных многочленов (или для проективных многообразий, однородных многочленов) f. То, что они образуют базу, следует из формулы для пересечения двух замкнутых множеств Зариски, приведенной выше (примените ее неоднократно к главным идеалам, порожденным образующими (S)). Открытые множества в этой базе называются выделенными или основными открытыми множествами. Важность этого свойства обусловлена, в частности, его использованием в определении аффинной схемы. По теореме Гильберта об основаниях и тому факту, что ноэтеровы кольца замкнуты относительно факторколец, каждое аффинное или проективное координатное кольцо является ноэтеровым. Как следствие, аффинные или проективные пространства с топологией Зариски являются ноэтеровыми топологическими пространствами, что подразумевает, что любое замкнутое подмножество этих пространств компактно. Однако, за исключением конечных алгебраических множеств, ни одно алгебраическое множество не является пространством Хаусдорфа. В старой топологической литературе под "компактностью" понималось также наличие свойства Хаусдорфа, и эта конвенция до сих пор соблюдается в алгебраической геометрии; поэтому компактность в современном смысле называется "квазикомпактностью" в алгебраической геометрии. Однако, поскольку каждая точка (a1, ..., an) является нуль-множеством многочленов x1 – a1, ..., xn – an, точки замкнуты, и поэтому каждое многообразие удовлетворяет аксиоме T1. Каждое регулярное отображение многообразий непрерывно в топологии Зариски. Фактически, топология Зариски является самой слабой топологией (с наименьшим количеством открытых множеств), в которой это верно и в которой точки замкнуты. Это легко проверить, заметив, что замкнутые множества Зариски – это просто пересечения прообразов 0 полиномиальных функций, рассматриваемых как регулярные отображения в.

Примеры

Спектр поля k, Spec k, – это топологическое пространство с одним элементом. Спектр целых чисел имеет закрытую точку для каждого простого числа p, соответствующую максимальному идеалу, и одну не замкнутую общую точку (то есть, замыкание которой является всем пространством), соответствующую нулевому идеалу (0). Таким образом, замкнутые подмножества Spec ℤ – это точно всё пространство и конечные объединения замкнутых точек. Спектр k[t], Spec k[t], – спектр кольца многочленов над полем k: такое кольцо многочленов известно как область главных идеалов, а неприводимые многочлены являются простыми элементами k[t]. Если k алгебраически замкнуто, например, поле комплексных чисел, то неконстантный многочлен неприводим тогда и только тогда, когда он линейный, имеет вид t − a, для некоторого элемента a из k. Таким образом, спектр состоит из одной замкнутой точки для каждого элемента a из k и общей точки, соответствующей нулевому идеалу, и множество замкнутых точек гомеоморфно аффинной прямой k, снабжённой топологией Зариски. В силу этого гомеоморфизма некоторые авторы используют термин "аффинная прямая" для спектра k[t]. Если k не является алгебраически замкнутым, например, поле вещественных чисел, то картина становится более сложной из-за существования нелинейных неприводимых многочленов. В этом случае спектр состоит из одной замкнутой точки для каждого моникского неприводимого многочлена и общей точки, соответствующей нулевому идеалу. Например, спектр ℝ[x] состоит из замкнутых точек (x − a), для a ∈ ℝ, замкнутых точек (x² + px + q), где p, q ∈ ℝ и с отрицательным дискриминантом p² − 4q < 0, и, наконец, общей точки (0). Для любого поля замкнутые подмножества Spec k[t] являются конечными объединениями замкнутых точек и всего пространства. (Это следует из того, что k[t] является областью главных идеалов, и в области главных идеалов простые идеалы, содержащие идеал, являются простыми множителями в разложении на простые множители генератора этого идеала).

Дополнительные свойства

Наиболее существенное изменение в топологии при переходе от классической картины к новой заключается в том, что точки больше не обязаны быть замкнутыми; расширяя определение, Гротендик ввел обобщенные точки, которые являются точками с максимальным замыканием, то есть минимальными простыми идеалами. Замкнутые точки соответствуют максимальным идеалам кольца A. Однако спектр и проективный спектр по-прежнему являются T0-пространствами: для любых двух точек P и Q, являющихся простыми идеалами A, по крайней мере одна из них, скажем P, не содержит другую. Тогда D(Q) содержит P, но, конечно, не Q. Как и в классической алгебраической геометрии, любой спектр или проективный спектр является (квази)компактным, и если рассматриваемое кольцо ноетерианское, то пространство является ноетерианским топологическим пространством. Однако эти факты контринтуитивны: мы обычно не ожидаем, что открытые множества, кроме связных компонент, будут компактными, а для аффинных многообразий (например, евклидова пространства) даже не ожидаем, что само пространство будет компактным. Это один из примеров геометрической неадекватности топологии Зариски. Гротендик решил эту проблему, определив понятие правильности схемы (точнее, морфизма схем), которое восстанавливает интуитивное представление о компактности: Proj является правильным, а Spec – нет.