Введение

В теории Галуа обратная проблема Галуа заключается в том, возникает ли каждая конечная группа как группа Галуа некоторого галуасова расширения поля рациональных чисел. Эта проблема, впервые сформулированная в начале XIX века, остаётся нерешённой. Существуют некоторые группы перестановок, для которых известны универсальные многочлены, определяющие все алгебраические расширения, имеющие данную группу в качестве группы Галуа. Эти группы включают все группы степени не выше 5. Также существуют группы, для которых универсальные многочлены неизвестны, например, циклическая группа порядка 8. В более общем случае, пусть G – заданная конечная группа, а K – поле. Если существует галуасово расширение поля L/K, группа Галуа которого изоморфна G, то говорят, что G реализуема над K.

Простой пример: циклические группы

Используя классические результаты, можно явно построить многочлен, чья группа Галуа над ℚ является циклической группой ℤ/nℤ для любого положительного целого числа n. Для этого выберите простое число p такое, что p ≡ 1 (mod n); это возможно по теореме Дирихле. Пусть ℚ(μ) будет циклотомическим расширением ℚ, порожденным μ, где μ – примитивный корень степени p из единицы; группа Галуа ℚ(μ)/ℚ является циклической порядка p − 1. Поскольку n делит p − 1, группа Галуа имеет циклическую подгруппу H порядка (p − 1)/n. Фундаментальная теорема теории Галуа подразумевает, что соответствующее фиксированное поле F = ℚ(μ)ᴴ имеет группу Галуа ℤ/nℤ над ℚ. Путем взятия подходящих сумм сопряженных к μ, следуя построению гауссовых периодов, можно найти элемент α из F, который порождает F над ℚ, и вычислить его минимальный полином. Этот метод можно расширить, чтобы охватить все конечные абелевы группы, поскольку каждая такая группа фактически появляется как фактор группы Галуа некоторого циклотомического расширения ℚ. (Однако это утверждение не следует путать с теоремой Кронекера — Вебера, которая лежит значительно глубже.)

Сменные группы

Решения для чередующихся групп должны обрабатываться по-разному в зависимости от нечётной или чётной степени.

Жесткие группы

Предположим, что C1, …, Cn – классы сопряженности конечной группы G, а A – множество n-ок (g1, …, gn) из G, таких что gi принадлежит Ci, а произведение g1…gn тривиально. Тогда A называется жестким, если оно не пусто, G действует на нем транзитивно посредством сопряжения, и каждый элемент из A порождает G.

Было показано, что если конечная группа G имеет жесткое множество, то она часто может быть реализована как группа Галуа над циклотомическим расширением рациональных чисел. (Точнее, над циклотомическим расширением рациональных чисел, порожденным значениями неприводимых характеров G на классах сопряженности Ci.) Это можно использовать для доказательства того, что многие конечные простые группы, включая группу монстров, являются группами Галуа расширений рациональных чисел. Группа монстров порождается триадой элементов порядков 2, 3 и 29. Все такие триады сопряжены. Прототипом жесткости является симметрическая группа Sn, которая порождается n-циклом и транспозицией, произведение которых является (n − 1)-циклом. В предыдущем разделе мы использовали эти образующие для определения группы Галуа многочлена.

Конструкция с эллиптической модульной функцией

Пусть n > 1 – любое целое число. В комплексной плоскости решетка Λ с периодом τ имеет подрешетку Λ′ с периодом nτ. Эта подрешетка является одной из конечного множества подрешеток, переставляемых модульной группой PSL(2, ℤ), которая основана на изменениях базиса для Λ. Пусть j обозначает эллиптическую модульную функцию Феликса Клейна. Определим многочлен φn как произведение разностей (X − j(Λi)) по всем сопряженным подрешеткам. Как многочлен от X, φn имеет коэффициенты, являющиеся многочленами от j(τ). На сопряженных решетках модульная группа действует как PGL(2, ℤ/nℤ). Следовательно, φn имеет группу Галуа, изоморфную PGL(2, ℤ/nℤ) над ℚ. Использование теоремы о неприводимости Гильберта дает бесконечное (и плотное) множество рациональных чисел, при подстановке которых φn специализируется на многочленах с группой Галуа PGL(2, ℤ/nℤ) над ℚ. Группы PGL(2, ℤ/nℤ) содержат бесконечно много неразрешимых групп.