Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В комплексном анализе, ветви математики, обобщённая непрерывная дробь является обобщением обыкновенных непрерывных дробей в канонической форме, в которой частичные числители и частичные знаменатели могут принимать любые комплексные значения. Обобщённая непрерывная дробь – это выражение вида
In complex analysis, a branch of mathematics, a generalized continued fraction is a generalization of regular continued fractions in canonical form, in which the partial numerators and partial denominators can assume arbitrary complex values. A generalized continued fraction is an expression of the form
где an (n > 0) – частичные числители, bn – частичные знаменатели, а старший член b0 называется целой частью непрерывной дроби. Последовательные подходимые (convergents) непрерывной дроби формируются путём применения фундаментальных формул рекурренции:
where the an (n > 0) are the partial numerators, the bn are the partial denominators, and the leading term b0 is called the integer part of the continued fraction. The successive convergents of the continued fraction are formed by applying the fundamental recurrence formulas:
где An – числитель, а Bn – знаменатель, называемые континуантами, n-го подходащего. Они задаются рекурсией
where An is the numerator and Bn is the denominator, called continuants, of the nth convergent. They are given by the recursion
с начальными значениями
with initial values
Если последовательность подходимых {xn} стремится к пределу, то непрерывная дробь сходится и имеет определённое значение. Если последовательность подходимых никогда не стремится к пределу, то непрерывная дробь расходится. Она может расходиться за счёт колебаний (например, нечётные и чётные подходимые могут стремиться к двум различным пределам), либо она может порождать бесконечное число нулевых знаменателей Bn.
If the sequence of convergents {xn} approaches a limit the continued fraction is convergent and has a definite value. If the sequence of convergents never approaches a limit the continued fraction is divergent. It may diverge by oscillation (for example, the odd and even convergents may approach two different limits), or it may produce an infinite number of zero denominators Bn.
Некоторые элементарные соображения
Вот некоторые элементарные результаты, имеющие фундаментальное значение для дальнейшего развития аналитической теории непрерывных дробей.
Here are some elementary results that are of fundamental importance in the further development of the analytic theory of continued fractions.
Условия иррациональности
Если a1, a2 и b1, b2 – положительные целые числа, такие что ak ≤ bk для всех достаточно больших k, то сходится к иррациональному пределу.
If a1, a2, and b1, b2, are positive integers with ak ≤ bk for all sufficiently large k, then
converges to an irrational limit.
Пример 2
Соотношение Погсона (1001/5 или ≈ 2,511886), где – , а – :
Pogson's ratio (1001/5 or ≈ 2.511886 ), with , and :
Пример 3
Двенадцатый корень из двух (2<sup>1/12</sup> или ≈ 1.059463), использующий "стандартную нотацию":
The twelfth root of two (21/12 or ≈ 1.059463 ), using "standard notation":
Более высокие размеры
Другое значение обобщенной непрерывной дроби — это обобщение на более высокие размерности. Например, существует тесная связь между простой непрерывной дробью в канонической форме для иррационального действительного числа α и расположением точек решетки в двух измерениях по обе стороны от прямой. Обобщая эту идею, можно задаться вопросом о чем-то, связанном с точками решетки в трех и более измерениях. Одна из причин изучения этой области — количественная оценка идеи математического совпадения; например, для мономов от нескольких действительных чисел можно взять логарифмическую форму и рассмотреть, насколько малой она может быть. Другая причина — поиск возможного решения проблемы Эрмита. Было предпринято множество попыток построить обобщенную теорию. Значительный вклад в этом направлении внесли Феликс Кляйн (полиэдр Кляйна), Жорж Пуату и Жорж Секериш.
Another meaning for generalized continued fraction is a generalization to higher dimensions. For example, there is a close relationship between the simple continued fraction in canonical form for the irrational real number α, and the way lattice points in two dimensions lie to either side of the line Generalizing this idea, one might ask about something related to lattice points in three or more dimensions. One reason to study this area is to quantify the mathematical coincidence idea; for example, for monomials in several real numbers, take the logarithmic form and consider how small it can be. Another reason is to find a possible solution to Hermite's problem. There have been numerous attempts to construct a generalized theory. Notable efforts in this direction were made by Felix Klein (the Klein polyhedron), Georges Poitou and George Szekeres.