Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Комплекстік талдауда, математиканың бір саласы, жалпыланған жалғастыра беретін бөлшектер – канондық формадағы тұрақты жалғастыра беретін бөлшектердің жалпылауы болып табылады, онда ішінара санаушылар мен ішінара атаушылар кез келген күрделі мәнді қабылдауы мүмкін. Жалпыланған жалғастыра беретін бөлшектер мына түрде өрнектеледі:
In complex analysis, a branch of mathematics, a generalized continued fraction is a generalization of regular continued fractions in canonical form, in which the partial numerators and partial denominators can assume arbitrary complex values. A generalized continued fraction is an expression of the form
мұнда an (n > 0) – ішінара санаушылар, bn – ішінара атаушылар, ал b0 – жалғастыра беретін бөлшектің бүтін бөлігі деп аталады. Жалғастыра беретін бөлшектің тізбектелген жуықтамалары негізгі рекурренттік формулаларды қолдану арқылы құрастырылады:
where the an (n > 0) are the partial numerators, the bn are the partial denominators, and the leading term b0 is called the integer part of the continued fraction. The successive convergents of the continued fraction are formed by applying the fundamental recurrence formulas:
мұнда An – санаушы, ал Bn – атаушы, n-ші жуықтаманың континуанттары деп аталады. Олар мына рекурсия арқылы беріледі:
where An is the numerator and Bn is the denominator, called continuants, of the nth convergent. They are given by the recursion
бастапқы мәндермен:
with initial values
Егер жуықтамалар тізбегі {xn} шекке жақындасса, жалғастыра беретін бөлшек конвергентті болады және нақты мәні болады. Егер жуықтамалар тізбегі ешқашан шекке жақындаспаса, жалғастыра беретін бөлшек дивергентті болады. Ол тербеліс арқылы дивергенттеуі мүмкін (мысалы, тақ және жұп жуықтамалар екі түрлі шекке жақындауы мүмкін), немесе ол Bn атаушыларының шексіз көп нөлдік мәнін тудыруы мүмкін.
If the sequence of convergents {xn} approaches a limit the continued fraction is convergent and has a definite value. If the sequence of convergents never approaches a limit the continued fraction is divergent. It may diverge by oscillation (for example, the odd and even convergents may approach two different limits), or it may produce an infinite number of zero denominators Bn.
Кейбір қарапайым ойлар
Мұнда жалғастыра түсетін бөлшектердің аналитикалық теориясын одан әрі дамыту үшін маңызды негізгі кейбір элементарлық нәтижелер келтірілген.
Here are some elementary results that are of fundamental importance in the further development of the analytic theory of continued fractions.
Рационалды емес жағдай
Егер a1, a2 және b1, b2 – барлық жеткілікті үлкен k үшін ak ≤ bk болатын оң бүтін сандар болса, онда ол иррационалды шекке жуықтайды.
If a1, a2, and b1, b2, are positive integers with ak ≤ bk for all sufficiently large k, then
converges to an irrational limit.
2-ші мысал
Погсон қатынасы (1001/5 немесе ≈ 2,511886), мұнда , және :
Pogson's ratio (1001/5 or ≈ 2.511886 ), with , and :
3-ші мысал
Стандартты белгілеуді қолдана отырып, екінің он екінші түбірі (2¹/¹² немесе ≈ 1.059463):
The twelfth root of two (21/12 or ≈ 1.059463 ), using "standard notation":
Жоғары өлшемдер
Жалпыланған жалғасқан бөлшектің тағы бір мағынасы – жоғары өлшемдерге кеңейту. Мысалы, иррационал нақты сан α үшін канондық түрдегі қарапайым жалғасқан бөлшек пен екі өлшемдегі торлық нүктелердің түзудің екі жағында қалай орналасқаны арасында тығыз байланыс бар. Осы идеяны кеңейте отырып, үш немесе одан да көп өлшемдегі торлық нүктелерге қатысты нәрселерді қарастыруға болады. Осы саланы зерттеудің бір себебі – математикалық сәйкестік идеясын мөлшерлеу, мысалы, бірнеше нақты сандардағы мономиалдар үшін логарифмдік түрге көшіп, оның қаншалықты кішкентай болатынын қарастыру. Тағы бір себеп – Гермит мәселесіне мүмкін болатын шешім табу. Жалпыланған теорияны құруға көптеген тырақтар жасалды. Осы бағыттағы еңбектерімен Феликс Клейн (Клейн көпжақтысы), Жорж Пуату және Жорж Сезерес белгілі болды.
Another meaning for generalized continued fraction is a generalization to higher dimensions. For example, there is a close relationship between the simple continued fraction in canonical form for the irrational real number α, and the way lattice points in two dimensions lie to either side of the line Generalizing this idea, one might ask about something related to lattice points in three or more dimensions. One reason to study this area is to quantify the mathematical coincidence idea; for example, for monomials in several real numbers, take the logarithmic form and consider how small it can be. Another reason is to find a possible solution to Hermite's problem. There have been numerous attempts to construct a generalized theory. Notable efforts in this direction were made by Felix Klein (the Klein polyhedron), Georges Poitou and George Szekeres.