Введение
Бесконечная сумма мономов
In mathematics, a power series (in one variable) is an infinite series of the form
where an represents the coefficient of the nth term and c is a constant. Power series are useful in mathematical analysis, where they arise as Taylor series of infinitely differentiable functions. In fact, Borel's theorem implies that every power series is the Taylor series of some smooth function. In many situations, c (the center of the series) is equal to zero, for instance when considering a Maclaurin series. In such cases, the power series takes the simpler form
Beyond their role in mathematical analysis, power series also occur in combinatorics as generating functions (a kind of formal power series) and in electronic engineering (under the name of the Z transform). The familiar decimal notation for real numbers can also be viewed as an example of a power series, with integer coefficients, but with the argument x fixed at In number theory, the concept of p adic numbers is also closely related to that of a power series.
В математике степенной ряд (в одной переменной) — это бесконечный ряд вида
In mathematics, a power series (in one variable) is an infinite series of the form
where an represents the coefficient of the nth term and c is a constant. Power series are useful in mathematical analysis, where they arise as Taylor series of infinitely differentiable functions. In fact, Borel's theorem implies that every power series is the Taylor series of some smooth function. In many situations, c (the center of the series) is equal to zero, for instance when considering a Maclaurin series. In such cases, the power series takes the simpler form
Beyond their role in mathematical analysis, power series also occur in combinatorics as generating functions (a kind of formal power series) and in electronic engineering (under the name of the Z transform). The familiar decimal notation for real numbers can also be viewed as an example of a power series, with integer coefficients, but with the argument x fixed at In number theory, the concept of p adic numbers is also closely related to that of a power series.
где aₙ представляет собой коэффициент n-го члена, а c — константа. Степенные ряды полезны в математическом анализе, где они возникают как ряды Тейлора бесконечно дифференцируемых функций. Фактически, теорема Бореля подразумевает, что каждый степенной ряд является рядом Тейлора некоторой гладкой функции. Во многих ситуациях c (центр ряда) равен нулю, например, при рассмотрении ряда Маклорена. В таких случаях степенной ряд принимает более простую форму. Помимо своей роли в математическом анализе, степенные ряды также встречаются в комбинаторике в качестве порождающих функций (один из видов формальных степенных рядов) и в электротехнике (под названием Z-преобразования). Знакомое десятичное представление действительных чисел также можно рассматривать как пример степенного ряда с целочисленными коэффициентами, но с аргументом x, фиксированным в единице. В теории чисел концепция p-адических чисел также тесно связана с понятием степенного ряда.
In mathematics, a power series (in one variable) is an infinite series of the form
where an represents the coefficient of the nth term and c is a constant. Power series are useful in mathematical analysis, where they arise as Taylor series of infinitely differentiable functions. In fact, Borel's theorem implies that every power series is the Taylor series of some smooth function. In many situations, c (the center of the series) is equal to zero, for instance when considering a Maclaurin series. In such cases, the power series takes the simpler form
Beyond their role in mathematical analysis, power series also occur in combinatorics as generating functions (a kind of formal power series) and in electronic engineering (under the name of the Z transform). The familiar decimal notation for real numbers can also be viewed as an example of a power series, with integer coefficients, but with the argument x fixed at In number theory, the concept of p adic numbers is also closely related to that of a power series.
На множестве показателей
Негативные степени не допускаются в степенном ряде; например, не считается степенным рядом (хотя это ряд Лорана). Аналогично, дробные степени, такие как , также не допускаются (но см. ряды Пюизё). Коэффициенты не должны зависеть от , таким образом, например: не является степенным рядом.
is not a power series.
Дифференциация и интеграция
Когда функция задана в виде степенного ряда, как описано выше, она дифференцируема во внутренней области сходимости. Её можно дифференцировать и интегрировать достаточно легко, рассматривая каждый член ряда по отдельности: оба этих ряда имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.
Both of these series have the same radius of convergence as the original one.
Аналитические функции
Функция f, определенная на некотором открытом подмножестве U из R или C, называется аналитической, если она локально задается сходящимся степенным рядом. Это означает, что для каждого a ∈ U существует открытое окрестность V ⊆ U, такая что существует степенной ряд с центром в a, который сходится к f(x) для всех x ∈ V.
Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости является аналитическим на внутренней области своей области сходимости. Все голоморфные функции являются комплексно аналитическими. Суммы и произведения аналитических функций аналитичны, как и частные, при условии, что знаменатель не равен нулю. Если функция аналитична, то она бесконечно дифференцируема, но в вещественном случае обратное, как правило, неверно. Для аналитической функции коэффициенты an могут быть вычислены как
где обозначает n-ю производную функции f в точке c, и это означает, что каждая аналитическая функция локально представляется своим рядом Тейлора. Глобальная форма аналитической функции полностью определяется ее локальным поведением в следующем смысле: если f и g – две аналитические функции, определенные на одном и том же связном открытом множестве U, и если существует элемент c ∈ U такой, что для всех n ≥ 0, то f(x) = g(x) для всех x ∈ U. Если задан степенной ряд с радиусом сходимости r, можно рассматривать аналитические продолжения этого ряда, то есть аналитические функции f, которые определены на больших множествах, чем и совпадают с заданным степенным рядом на этом множестве. Число r является максимальным в следующем смысле: всегда существует комплексное число x такое, что и никакое аналитическое продолжение ряда не может быть определено в точке x. Разложение в степенной ряд обратной функции аналитической функции можно определить с помощью теоремы обращения Лагранжа.
Поведение вблизи границы
Сумма степенного ряда с положительным радиусом сходимости является аналитической функцией в каждой точке внутри диска сходимости. Однако на границе этого диска может наблюдаться различное поведение. Например:
Расходимость, при этом сумма продолжается до аналитической функции: имеет радиус сходимости, равный , и расходится в каждой точке Тем не менее, сумма в , которая является аналитической в каждой точке плоскости, кроме . Сходимость в одних точках и расходимость в других: имеет радиус сходимости. Она сходится при , в то время как расходится при . Абсолютная сходимость в каждой точке границы: имеет радиус сходимости , при этом она сходится абсолютно и равномерно в каждой точке из-за критерия Вейерштрасса, примененного к гипергармоническому сходящемуся ряду . Сходимость на замыкании диска сходимости, но не непрерывная сумма: Сиерпинский привел пример степенного ряда с радиусом сходимости , сходящегося во всех точках с , но сумма является неограниченной функцией и, в частности, разрывной. Достаточное условие односторонней непрерывности в граничной точке дано теоремой Абеля.
Формальные серии мощности
В абстрактной алгебре стремятся выявить суть степенных рядов, не ограничиваясь полями действительных и комплексных чисел и без необходимости говорить о сходимости. Это приводит к понятию формальных степенных рядов – концепции, имеющей большое значение в алгебраической комбинаторике.
Серия мощностей в нескольких переменных
Расширение теории необходимо для целей многомерного исчисления. Степенной ряд определяется здесь как бесконечный ряд вида
где **j** = (j₁, …, jₙ) – вектор натуральных чисел, коэффициенты a(j₁, …, jₙ) обычно являются действительными или комплексными числами, а центр **c** = (c₁, …, cₙ) и аргумент **x** = (x₁, …, xₙ) обычно являются действительными или комплексными векторами. Символ ∏ – это символ произведения, обозначающий умножение. В более удобном многоиндексном обозначении это можно записать как
где ℕ – множество натуральных чисел, а ℕⁿ – множество упорядоченных n-ок натуральных чисел. Теория таких рядов сложнее, чем для рядов одной переменной, и области сходимости в ней более сложные. Например, степенной ряд абсолютно сходится в множестве, лежащем между двумя гиперболами. (Это пример логарифмически выпуклого множества, в том смысле, что множество точек **x**, для которых **x** лежит в указанной области, является выпуклым множеством. В более общем случае можно показать, что при **c** = 0 внутренняя часть области абсолютной сходимости всегда является логарифмически выпуклым множеством в этом смысле.) С другой стороны, внутри этой области сходимости можно дифференцировать и интегрировать под знаком ряда, как и в случае обычных степенных рядов.
Порядок ряда сил
Пусть α — мультииндекс для степенного ряда f(x₁, x₂, ..., xₙ). Порядок степенного ряда f определяется как наименьшее значение, при котором существует α ≠ 0 такое, что ∂ᵃf ≠ 0, или 0, если f ≡ 0. В частности, для степенного ряда f(x) от одной переменной x, порядок f — это наименьшая степень x с ненулевым коэффициентом. Это определение легко распространяется на ряды Лорана.