Кіріспе
Мономиалдардың шексіз қосындысы
In mathematics, a power series (in one variable) is an infinite series of the form
where an represents the coefficient of the nth term and c is a constant. Power series are useful in mathematical analysis, where they arise as Taylor series of infinitely differentiable functions. In fact, Borel's theorem implies that every power series is the Taylor series of some smooth function. In many situations, c (the center of the series) is equal to zero, for instance when considering a Maclaurin series. In such cases, the power series takes the simpler form
Beyond their role in mathematical analysis, power series also occur in combinatorics as generating functions (a kind of formal power series) and in electronic engineering (under the name of the Z transform). The familiar decimal notation for real numbers can also be viewed as an example of a power series, with integer coefficients, but with the argument x fixed at In number theory, the concept of p adic numbers is also closely related to that of a power series.
Математикада, қуат қатары (бір айнымалыда) – a n-ші мүшенің коэффициентін көрсететін және c тұрақты болатын келесі формадағы шексіз қатар болып табылады:
In mathematics, a power series (in one variable) is an infinite series of the form
where an represents the coefficient of the nth term and c is a constant. Power series are useful in mathematical analysis, where they arise as Taylor series of infinitely differentiable functions. In fact, Borel's theorem implies that every power series is the Taylor series of some smooth function. In many situations, c (the center of the series) is equal to zero, for instance when considering a Maclaurin series. In such cases, the power series takes the simpler form
Beyond their role in mathematical analysis, power series also occur in combinatorics as generating functions (a kind of formal power series) and in electronic engineering (under the name of the Z transform). The familiar decimal notation for real numbers can also be viewed as an example of a power series, with integer coefficients, but with the argument x fixed at In number theory, the concept of p adic numbers is also closely related to that of a power series.
. Қуат қатарлары математикалық талдауда пайдалы, олар шексіз дифференциалданатын функциялардың Тейлор қатары ретінде туындайды. Шын мәнінде, Борел теоремасы кез келген қуат қатарының бір тегіс функцияның Тейлор қатары екенін көрсетеді. Көп жағдайда c (қатардың центрі) нөлге тең, мысалы, Маклорен қатарын қарастырғанда. Мұндай жағдайларда қуат қатарлары қарапайым түйіндейді. Математикалық талдаудағы рөлінен басқа, қуат қатарлары комбинаторикада функцияларды жасайтын құрал ретінде (формалды қуат қатарларының бір түрі) және электроника инженериясында (Z-трансформациясы деген атпен) кездеседі. Нақты сандар үшін таныс ондық жазуын да бүтін коэффициенттері бар қуат қатарының мысалы ретінде қарастыруға болады, бірақ x аргументімен. Сандар теориясында p-адық сандар тұжырымы да қуат қатарының ұғымымен тығыз байланысты.
In mathematics, a power series (in one variable) is an infinite series of the form
where an represents the coefficient of the nth term and c is a constant. Power series are useful in mathematical analysis, where they arise as Taylor series of infinitely differentiable functions. In fact, Borel's theorem implies that every power series is the Taylor series of some smooth function. In many situations, c (the center of the series) is equal to zero, for instance when considering a Maclaurin series. In such cases, the power series takes the simpler form
Beyond their role in mathematical analysis, power series also occur in combinatorics as generating functions (a kind of formal power series) and in electronic engineering (under the name of the Z transform). The familiar decimal notation for real numbers can also be viewed as an example of a power series, with integer coefficients, but with the argument x fixed at In number theory, the concept of p adic numbers is also closely related to that of a power series.
Көрсеткіштер жиынында
Күшті қатарда теріс дәрежелерге рұқсат етілмейді; мысалы, күшті қатар болып есептелмейді (дегенмен ол Лоран қатары болып табылады). Сол сияқты, бөлшектік дәрежелерге де рұқсат жоқ (бірақ Пуисо қатарын қараңыз). Коэффициенттер -қа тәуелді болмауы керек, сондықтан мысалы:
күшті қатар емес.
Дифференциациялау және интеграциялау
Функция жоғарыда көрсетілгендей қуат қатары түрінде берілген болса, ол жуысатын доменнің ішкі бөлігінде туындыланады. Оны әрбір мүшені жеке қарастыра отырып, оңай дифференциалдауға және интегралдауға болады:
Осы екі қатардың да түпнұсқа қатар сияқты бірдей жуысу радиусы бар.
Талдау функциялары
R немесе C-нің U ашық ішкі жиынында анықталған f функциясы, егер ол жергілікті түрде жинақты қуат қатарымен берілсе, аналитикалық деп аталады. Бұл, әрбір a ∈ U үшін V ⊆ U ашық маңайы бар, сонда әрбір x ∈ V үшін f(x)-ке жуықтайтын орталығы a болатын қуат қатары бар дегенді білдіреді. Оң радиусы бар кез келген қуат қатары, өзінің жуықсау аймағының ішкі бөлігінде аналитикалық болады. Барлық голоморфтық функциялар күрделі аналитикалық болады. Аналитикалық функциялардың қосындылары мен көбейтінділері аналитикалық болады, сондай-ақ, бөлшегі, егер бөлім нөлге тең болмаса. Егер функция аналитикалық болса, онда ол шексіз дифференциалданады, бірақ нақты жағдайда керісінше, жалпы алғанда, дұрыс емес. Аналитикалық функция үшін an коэффициенттерін былай есептеуге болады:
Every power series with a positive radius of convergence is analytic on the interior of its region of convergence. All holomorphic functions are complex analytic. Sums and products of analytic functions are analytic, as are quotients as long as the denominator is non zero. If a function is analytic, then it is infinitely differentiable, but in the real case the converse is not generally true. For an analytic function, the coefficients an can be computed as
where denotes the nth derivative of f at c, and This means that every analytic function is locally represented by its Taylor series. The global form of an analytic function is completely determined by its local behavior in the following sense: if f and g are two analytic functions defined on the same connected open set U, and if there exists an element c ∈ U such that for all n ≥ 0, then 1=f(x) = g(x) for all x ∈ U. If a power series with radius of convergence r is given, one can consider analytic continuations of the series, i. e. analytic functions f which are defined on larger sets than and agree with the given power series on this set. The number r is maximal in the following sense: there always exists a complex number x with such that no analytic continuation of the series can be defined at x. The power series expansion of the inverse function of an analytic function can be determined using the Lagrange inversion theorem.
мұнда f-тың c нүктесіндегі n-ші туындысын білдіреді, және бұл әрбір аналитикалық функция жергілікті түрде өзінің Тейлор қатарымен бейнеленеді дегенді білдіреді. Аналитикалық функцияның жаһандық нысаны оның жергілікті мінез-құлқымен келесі мағынада толық анықталады: егер f және g бір-бірімен байланысқан ашық жиын U-де анықталған екі аналитикалық функция болса және U-де c ∈ U элементі бар болса, онда барлық n ≥ 0 үшін f(x) = g(x) барлық x ∈ U үшін. Егер r радиусы бар қуат қатары берілген болса, онда қатардың аналитикалық жалғауларын қарастыруға болады, яғни f аналитикалық функцияларын, олар осы жиынтықтағы берілген қуат қатарынан үлкен жиындарда анықталған және олармен сәйкес келеді. r саны келесі мағынада максималды болып табылады: әрқашан x-де қатардың аналитикалық жалғасын анықтау мүмкін емес болатын x кешенді саны бар. Аналитикалық функцияның кері функциясының қуат қатарының кеңеюін Лагранж инверсия теоремасы арқылы анықтауға болады.
Every power series with a positive radius of convergence is analytic on the interior of its region of convergence. All holomorphic functions are complex analytic. Sums and products of analytic functions are analytic, as are quotients as long as the denominator is non zero. If a function is analytic, then it is infinitely differentiable, but in the real case the converse is not generally true. For an analytic function, the coefficients an can be computed as
where denotes the nth derivative of f at c, and This means that every analytic function is locally represented by its Taylor series. The global form of an analytic function is completely determined by its local behavior in the following sense: if f and g are two analytic functions defined on the same connected open set U, and if there exists an element c ∈ U such that for all n ≥ 0, then 1=f(x) = g(x) for all x ∈ U. If a power series with radius of convergence r is given, one can consider analytic continuations of the series, i. e. analytic functions f which are defined on larger sets than and agree with the given power series on this set. The number r is maximal in the following sense: there always exists a complex number x with such that no analytic continuation of the series can be defined at x. The power series expansion of the inverse function of an analytic function can be determined using the Lagrange inversion theorem.
Шекараға жақын жүріс-тұрысы
Конвергенция радиусы оң болатын қуат қатарының қосындысы, конвергенция дискісінің ішкі бөлігіндегі әрбір нүктеде аналитикалық функция болып табылады. Дегенмен, осы диск шекарасындағы нүктелерде басқаша мінез-құлықтар кездесуі мүмкін. Мысалы:
Дивергенция, бірақ қосынды аналитикалық функцияға дейін жалғасады: конвергенция радиусы тең және әрбір нүктеде дивергентті болады. Дегенмен, жиынтық – , яғни жазықтықтың барлық нүктелерінде аналитикалық, бірақ кейбір нүктелерде конвергентті, ал басқаларында дивергентті болады: конвергенция радиусы бар. Ол үшін , ал шектің әр нүктесінде абсолютті түрде конвергентті болады: конвергенция радиусы бар, және ол, Weierstrass M тестісі арқылы, гипергармониялық конвергентті қатар қолданылып, абсолютті және біркелкі түрде, дискінің жабылуындағы барлық нүктелерде конвергентті, бірақ үздіксіз емес: Sierpiński конвергенция радиусы бар қуат қатарының мысалын келтірді, ол барлық нүктелерде конвергентті, бірақ қосынды шексіз функция болып табылады және әсіресе, үздіксіз емес. Шекаралық нүктеде бір жақты үздіксіздік үшін жеткілікті шарт Абель теоремасымен беріледі.
Формалды қуаттар сериясы
Абстракт алгебрада, нақты және кешенді сандар өрісімен шектелмей, сондай-ақ жуысу туралы сөз қозғамай, қуат қатарларының мәнін анықтауға тырысады. Бұл алгебралық комбинаторикада маңызды қолданысқа ие формальды қуат қатарлары түсінігіне алып келеді.
Бірнеше айнымалыдағы қуаттар сериясы
Көптұрақталған есептеулер үшін теорияны кеңейту қажет. Мұнда қуат қатары 1=j = (j1, …, jn) – натурал сандардың векторы ретінде анықталады, коэффициенттер a(j1, …, jn) әдетте нақты немесе кешенді сандар, ал орталық 1=c = (c1, …, cn) және аргумент 1=x = (x1, …, xn) әдетте нақты немесе кешенді векторлар болып табылады. Символ – көбейтуді білдіретін көбейтінді таңбасы. Бұл көбірек қолайлы көп индекстік жазбада былай жазылуы мүмкін: мұнда – натурал сандар жиыны, ал – натурал сандардың реттелген n-тік жиыны. Мұндай қатарлардың теориясы бір айнымалы қатарларға қарағанда қиын, себебі конвергенция аймақтары күрделірек. Мысалы, екі гипербола арасындағы жиынтықта қуат қатары толық конвергентті болады. (Бұл логарифмдік дөңес жиынның мысалы, себебі жоғарыдағы аймақта жатқан нүктелер жиыны дөңес жиын болып табылады. Көбірек жалпылаған түрде, c=0 болғанда абсолютті конвергенция аймағының ішкі бөлігі әрқашан осы мағынада логарифмдік дөңес жиын екенін көрсетуге болады.) Екінші жағынан, осы конвергенция аймағының ішкі бөлігінде қатар белгісі астында дифференциалдауға және интегралдауға болады, дәл обыкновенды қуат қатарларымен бірдей.
where 1=j = (j1, , jn) is a vector of natural numbers, the coefficients a(j1, , jn) are usually real or complex numbers, and the center 1=c = (c1, , cn) and argument 1=x = (x1, , xn) are usually real or complex vectors. The symbol is the product symbol, denoting multiplication. In the more convenient multi index notation this can be written
where is the set of natural numbers, and so is the set of ordered n tuples of natural numbers. The theory of such series is trickier than for single variable series, with more complicated regions of convergence. For instance, the power series is absolutely convergent in the set between two hyperbolas. (This is an example of a log convex set, in the sense that the set of points , where lies in the above region, is a convex set. More generally, one can show that when c=0, the interior of the region of absolute convergence is always a log convex set in this sense.) On the other hand, in the interior of this region of convergence one may differentiate and integrate under the series sign, just as one may with ordinary power series.
Күш тізбесінің реті
α – (x1, x2, ..., xn) қуаты бар тізбек үшін көп индекс болсын. f тізбегінің дәрежесі – aα ≠ 0 болатын және , немесе f ≡ 0 болғандағы ең кіші мән ретінде анықталады. Атап айтқанда, бір айнымалы x-тегі f(x) қуаты бар тізбегінің дәрежесі – нөлден өзге коэффициенті бар x-тің ең кіші дәрежесі болып табылады. Бұл анықтама Лоран тізбектеріне де оңай қолданылады.