Введение
Определение непрерывности функций между частично упорядоченными множествами
В математике, для двух частично упорядоченных множеств P и Q, функция f: P → Q между ними называется Скотт-непрерывной (в честь математика Даны Скотт), если она сохраняет все направленные супремумы. То есть, для каждого направленного подмножества D из P с супремумом в P, его образ имеет супремум в Q, и этот супремум является образом супремума D, то есть где – направленное объединение. Когда является множеством значений истинности, то есть пространством Серпинского, то Скотт-непрерывные функции являются характеристическими функциями открытых множеств, и, следовательно, пространство Серпинского является классифицирующим пространством для открытых множеств. Подмножество O частично упорядоченного множества P называется Скотт-открытым, если оно является верхним множеством и недостижимо посредством направленных объединений, то есть если все направленные множества D с супремумом в O имеют непустое пересечение с O. Скотт-открытые подмножества частично упорядоченного множества P образуют топологию на P, называемую топологией Скотта. Функция между частично упорядоченными множествами является Скотт-непрерывной тогда и только тогда, когда она непрерывна относительно топологии Скотта. Скотт-непрерывные функции используются в изучении моделей для лямбда-исчислений.
In mathematics, given two partially ordered sets P and Q, a function f: P → Q between them is Scott continuous (named after the mathematician Dana Scott) if it preserves all directed suprema. That is, for every directed subset D of P with supremum in P, its image has a supremum in Q, and that supremum is the image of the supremum of D, i. e. , where is the directed join. When is the poset of truth values, i. e. Sierpiński space, then Scott continuous functions are characteristic functions of open sets, and thus Sierpiński space is the classifying space for open sets. A subset O of a partially ordered set P is called Scott open if it is an upper set and if it is inaccessible by directed joins, i. e. if all directed sets D with supremum in O have non empty intersection with O. The Scott open subsets of a partially ordered set P form a topology on P, the Scott topology. A function between partially ordered sets is Scott continuous if and only if it is continuous with respect to the Scott topology. Scott continuous functions are used in the study of models for lambda calculi
Примеры
Открытые множества в заданном топологическом пространстве, упорядоченные по включению, образуют решетку, на которой можно определить топологию Скотта. Подмножество X топологического пространства T является компактным относительно топологии на T (в том смысле, что любое открытое покрытие X содержит конечное подпокрытие X) тогда и только тогда, когда множество открытых окрестностей X открыто относительно топологии Скотта. Для CPO, картезиански замкнутой категории dcpo, два особенно заметных примера скоттовски непрерывных функций — карринг и аплай. Нуэль Белнап использовал скоттовскую непрерывность для расширения логических связок до четырехзначной логики.