Введение
В математике и теоретической физике теорема Стоуна — фон Неймана относится к любому из ряда различных формулировок единственности канонических коммутационных соотношений между операторами координаты и импульса. Она названа в честь Маршалла Стоуна и Джона фон Неймана.
Группа Гейзенберга
Вышеуказанные канонические коммутационные соотношения для P, Q идентичны коммутационным соотношениям, которые определяют алгебру Ли общей группы Гейзенберга H2n+1 для n – положительное целое число. Это группа Ли, состоящая из квадратных матриц размера (n + 2) × (n + 2) вида
In fact, using the Heisenberg group, one can reformulate the Stone von Neumann theorem in the language of representation theory. Note that the center of H2n+1 consists of matrices M(0, 0, c). However, this center is not the identity operator in Heisenberg's original CCRs. The Heisenberg group Lie algebra generators, e. g. for , are
and the central generator 1=z = log M(0, 0, 1) = exp(z) − 1 is not the identity. All these representations are unitarily inequivalent; and any irreducible representation which is not trivial on the center of Hn is unitarily equivalent to exactly one of these. Note that Uh is a unitary operator because it is the composition of two operators which are easily seen to be unitary: the translation to the left by ha and multiplication by a function of absolute value 1. To show Uh is multiplicative is a straightforward calculation. The hard part of the theorem is showing the uniqueness; this claim, nevertheless, follows easily from the Stone–von Neumann theorem as stated above. We will sketch below a proof of the corresponding Stone–von Neumann theorem for certain finite Heisenberg groups. In particular, irreducible representations π, π′ of the Heisenberg group Hn which are non trivial on the center of Hn are unitarily equivalent if and only if 1=π(z) = π′(z) for any z in the center of Hn. One representation of the Heisenberg group which is important in number theory and the theory of modular forms is the theta representation, so named because the Jacobi theta function is invariant under the action of the discrete subgroup of the Heisenberg group.
Фактически, используя группу Гейзенберга, можно переформулировать теорему Стоуна — фон Неймана на языке теории представлений. Следует отметить, что центр H2n+1 состоит из матриц M(0, 0, c). Однако этот центр не является тождественным оператором в исходных соотношениях коммутации Гейзенберга. Генераторы алгебры Ли группы Гейзенберга, например для , и центральный генератор 1=z = log M(0, 0, 1) = exp(z) − 1 не являются тождественным оператором. Все эти представления унитарно неэквивалентны; и любое неприводимое представление, нетривиальное на центре Hn, унитарно эквивалентно ровно одному из них. Обратите внимание, что Uh является унитарным оператором, поскольку он является композицией двух операторов, которые легко увидеть как унитарные: сдвига влево на ha и умножения на функцию с абсолютной величиной 1. Показать, что Uh является мультипликативным, – простая задача. Сложной частью теоремы является доказательство единственности; тем не менее, это утверждение легко следует из теоремы Стоуна — фон Неймана, сформулированной выше. Ниже мы представим набросок доказательства соответствующей теоремы Стоуна — фон Неймана для определенных конечных групп Гейзенберга. В частности, неприводимые представления π, π′ группы Гейзенберга Hn, нетривиальные на центре Hn, унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда 1=π(z) = π′(z) для любого z из центра Hn. Одним из представлений группы Гейзенберга, важным в теории чисел и теории модулярных форм, является тета-представление, названное так, потому что функция Якоби тета инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга.
In fact, using the Heisenberg group, one can reformulate the Stone von Neumann theorem in the language of representation theory. Note that the center of H2n+1 consists of matrices M(0, 0, c). However, this center is not the identity operator in Heisenberg's original CCRs. The Heisenberg group Lie algebra generators, e. g. for , are
and the central generator 1=z = log M(0, 0, 1) = exp(z) − 1 is not the identity. All these representations are unitarily inequivalent; and any irreducible representation which is not trivial on the center of Hn is unitarily equivalent to exactly one of these. Note that Uh is a unitary operator because it is the composition of two operators which are easily seen to be unitary: the translation to the left by ha and multiplication by a function of absolute value 1. To show Uh is multiplicative is a straightforward calculation. The hard part of the theorem is showing the uniqueness; this claim, nevertheless, follows easily from the Stone–von Neumann theorem as stated above. We will sketch below a proof of the corresponding Stone–von Neumann theorem for certain finite Heisenberg groups. In particular, irreducible representations π, π′ of the Heisenberg group Hn which are non trivial on the center of Hn are unitarily equivalent if and only if 1=π(z) = π′(z) for any z in the center of Hn. One representation of the Heisenberg group which is important in number theory and the theory of modular forms is the theta representation, so named because the Jacobi theta function is invariant under the action of the discrete subgroup of the Heisenberg group.
Обобщения
Теорема Стоуна — фон Неймана допускает многочисленные обобщения. Значительная часть ранних работ Джорджа Макки была посвящена получению формулировки теории индуцированных представлений, изначально разработанной Фробениусом для конечных групп, применительно к унитарным представлениям локально компактных топологических групп.