Введение

Французский математик (1789–1857)

Барон Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy, /UK//k/'/oʊ//ʃ//i/ KOHshee, /k/'/aʊ//ʃ//i// KOWshee, kohSHEE; 21 августа 1789 – 23 мая 1857) — французский математик, инженер и физик. Он одним из первых строго сформулировал и доказал ключевые теоремы математического анализа (тем самым заложив основы вещественного анализа), стал пионером в области комплексного анализа и изучения групп перестановок в абстрактной алгебре. Коши также внес вклад в ряд вопросов математической физики, в частности в механику сплошных сред. Выдающийся математик, Коши оказал огромное влияние на современников и последователей; Ханс Фрейденталь отмечал: "Больше понятий и теорем названо в честь Коши, чем в честь любого другого математика (одни только в теории упругости насчитывают шестнадцать понятий и теорем, носящих имя Коши)". Коши был чрезвычайно продуктивным ученым: он написал около восьмисот научных статей и пять полных учебников по различным разделам математики и математической физики.

Инженерные дни

После окончания школы в 1810 году Коши принял должность младшего инженера в Шербурге, где Наполеон планировал строительство военно-морской базы. Там Коши проработал три года, был назначен к проекту канала Ourcq и проекту моста Сен-Клу, а также работал в порту Шербурга. Несмотря на крайне загруженную административную работу, он находил время для подготовки трех математических рукописей, которые представил в Première Classe (Первый класс) Института Франции. Первые две рукописи Коши (о многогранниках) были приняты, а третья (о директрисах конических сечений) – отклонена. В сентябре 1812 года, в возрасте 23 лет, Коши вернулся в Париж из-за болезни, вызванной переутомлением. Еще одной причиной возвращения в столицу был утрачиваемый интерес к инженерному делу и все большее влечение к абстрактной красоте математики; в Париже у него было бы гораздо больше шансов найти должность, связанную с математикой. Когда здоровье Коши улучшилось в 1813 году, он решил не возвращаться в Шербург. Хотя он формально сохранил свою инженерную должность, его перевели из ведомости Министерства морского флота в Министерство внутренних дел. Следующие три года Коши находился преимущественно в неоплачиваемом отпуске по болезни, плодотворно работая над математическими исследованиями (в частности, симметричными функциями, симметрической группой и теорией алгебраических уравнений высших степеней). Он несколько раз, между 1813 и 1815 годами, безуспешно пытался поступить в Первый класс Института Франции. В 1815 году Наполеон потерпел поражение при Ватерлоо, и вновь назначенный король Людовик XVIII взялся за восстановление страны. В марте 1816 года Академия наук была восстановлена; Лазар Карно и Гаспар Монге были исключены из ее состава по политическим мотивам, и король назначил Коши на место одного из них. Реакция коллег Коши была резкой; они сочли принятие его в Академию вопиющим фактом, и Коши нажил себе много врагов в научных кругах.

Профессор политехнической школы

В ноябре 1815 года Луи Понсо, который был доцентом в École Polytechnique, попросил освободить его от преподавательских обязанностей по состоянию здоровья. К тому времени Коши был восходящей математической звездой. Одним из его больших успехов в то время было доказательство теоремы Ферма о многоугольных числах. Он уволился с инженерной работы и получил годичный контракт на преподавание математики студентам второго курса École Polytechnique. В 1816 году эта бонапартистская, нерелигиозная школа была реорганизована, и несколько либеральных профессоров были уволены; Коши был повышен до штатного профессора. Когда Коши было 28 лет, он все еще жил с родителями. Его отец посчитал, что сыну пора жениться; он нашел ему подходящую невесту, Алоизу де Бюре, на пять лет младше. Семья де Бюре занималась книгопечатанием и книготорговлей и опубликовала большинство работ Коши. Алоиз и Огюстен поженились 4 апреля 1818 года с пышной католической церемонией в церкви Сен-Сюльпис. В 1819 году у пары родилась первая дочь, Мари Франсуаза Алисия, а в 1823 году – вторая и последняя дочь, Мари Матильда. Консервативный политический климат, продолжавшийся до 1830 года, полностью соответствовал Коши. В 1824 году умер Людовик XVIII, и ему наследовал его еще более консервативный брат Карл X. В эти годы Коши был очень продуктивен и опубликовал один важный математический трактат за другим. Он получил совместные назначения в Коллеж де Франс и в .

В изгнании

В июле 1830 года во Франции произошла Июльская революция. Карл X бежал из страны, и ему на смену пришел Людовик Филипп. Беспорядки, в которых активно участвовали студенты в форме из Политехнической школы, бушевали недалеко от дома Коши в Париже. Эти события стали переломным моментом в жизни Коши и привели к перерыву в его математической деятельности. Потрясенный падением правительства и испытывая глубокую ненависть к либералам, пришедшим к власти, Коши покинул Францию и уехал за границу, оставив свою семью. Он провел некоторое время во Фрибурге в Швейцарии, где ему предстояло решить, присягнет ли он на верность новому режиму. Он отказался от этого, и в результате потерял все свои должности в Париже, за исключением членства в Академии, для которого присяга не требовалась. В 1831 году Коши отправился в итальянский город Турин, и, проведя там некоторое время, принял предложение короля Сардинского (который правил Турином и окружающим регионом Пьемонт) занять кафедру теоретической физики, специально созданную для него. Он преподавал в Турине в 1832–1833 годах. В 1831 году он был избран иностранным членом Королевской шведской академии наук, а в следующем году – иностранным почетным членом Американской академии искусств и наук. В августе 1833 года Коши покинул Турин и отправился в Прагу, чтобы стать научным наставником тринадцатилетнего герцога Бордо, Анри д’Артуа (1820–1883), изгнанного наследного принца и внука Карла X. Будучи профессором Политехнической школы, Коши был известен как плохой лектор, предполагая уровень понимания, доступный лишь немногим из его лучших студентов, и перегружая отведенное время избыточным материалом. Анри д’Артуа не проявлял ни вкуса, ни таланта к математике или науке. Хотя Коши относился к своей миссии очень серьезно, он делал это неуклюже и с удивительным недостатком авторитета над Анри д’Артуа. В годы работы инженером-строителем Коши некоторое время руководил ремонтом парижской канализации, и он допустил ошибку, упомянув об этом своему ученику; с большой злобой Анри д’Артуа стал утверждать, что Коши начал свою карьеру в парижской канализации. Преподавание Анри д’Артуа продолжалось до его восемнадцатилетия, в сентябре 1838 года. В течение этих пяти лет Коши почти не занимался исследованиями, в то время как Анри д’Артуа навсегда возненавидел математику. Коши был удостоен титула барона, который он очень ценил. В 1834 году его жена и две дочери переехали в Прагу, и Коши воссоединился со своей семьей после четырех лет изгнания.

Последние годы

Коши вернулся в Париж и занял свою должность в Академии наук в конце 1838 года. Он не смог восстановить свои преподавательские посты, поскольку продолжал отказываться приносить присягу верности. В августе 1839 года в Бюро долгот появилась вакансия. Это бюро во многом напоминало Академию; в частности, оно имело право кооптировать своих членов. Кроме того, считалось, что члены Бюро могли "забыть" о присяге верности, хотя формально, в отличие от академиков, они были обязаны её принести. Бюро долгот было основано в 1795 году для решения проблемы определения местоположения в море — главным образом, долготы, поскольку широту легко определить по положению солнца. Поскольку считалось, что наиболее точно определить местоположение в море можно с помощью астрономических наблюдений, Бюро превратилось в организацию, напоминающую академию астрономических наук. В ноябре 1839 года Коши был избран в Бюро и обнаружил, что вопрос с присягой не так просто уладить. Без присяги король отказался утвердить его избрание. В течение четырех лет Коши находился в положении избранного, но не утвержденного; соответственно, он не был официальным членом Бюро, не получал зарплату, не мог участвовать в заседаниях и представлять свои работы. Тем не менее Коши отказывался приносить какие-либо клятвы, однако считал себя достаточно лояльным, чтобы направить свои исследования в область небесной механики. В 1840 году он представил Академии дюжину работ на эту тему. Он описал и проиллюстрировал представление чисел с использованием знаков, инновацию, впервые представленную в Англии в 1727 году Джоном Колсоном. Неоднозначное членство в Бюро продолжалось до конца 1843 года, когда Коши был заменен Пуансо. На протяжении всего XIX века французская система образования боролась за разделение церкви и государства. Потеряв контроль над системой государственного образования, католическая церковь стремилась создать собственную систему образования и нашла в Коши стойкого и выдающегося союзника. Он предоставил свой престиж и знания École Normale Écclésiastique, школе в Париже, управляемой иезуитами, для подготовки учителей для своих колледжей. Он участвовал в основании Института католицизма. Целью этого института было противодействие последствиям отсутствия католического университетского образования во Франции. Эти действия не сделали Коши популярным среди его коллег, которые в целом поддерживали идеалы Просвещения Французской революции. Когда в 1843 году в Коллеж де Франс освободилась кафедра математики, Коши подал на неё заявку, но получил лишь три голоса из 45. В 1848 году король Луи-Филипп бежал в Англию. Присяга верности была отменена, и для Коши открылась дорога к академической должности. 1 марта 1849 года он был восстановлен на факультете наук в качестве профессора математической астрономии. После политических потрясений в течение всего 1848 года Франция решила стать республикой под президентством Наполеона III. В начале 1852 года президент провозгласил себя императором Франции и принял имя Наполеон III. В бюрократических кругах возникла идея о том, что было бы полезно вновь ввести присягу верности для всех государственных служащих, включая университетских профессоров. На этот раз министру удалось убедить императора освободить Коши от присяги. В 1853 году Коши был избран иностранным членом Американского философского общества. Коши оставался профессором университета до своей смерти в возрасте 67 лет. Ему были совершены Последние обряды, и он умер от бронхиального заболевания в 4 часа утра 23 мая 1857 года. Его имя — одно из 72 имен, выгравированных на Эйфелевой башне.

Ранние работы

Гениальность Коши проявилась в его простом решении задачи Аполлония — построении окружности, касающейся трех заданных окружностей, — которую он обнаружил в 1805 году, в его обобщении формулы Эйлера для многогранников в 1811 году и в решении нескольких других изящных задач. Однако более значимой является его работа о распространении волн, удостоенная Гран-при Французской академии наук в 1816 году. Труды Коши охватывали важные области математики. В теории рядов он разработал понятие сходимости и открыл множество основных формул для q-рядов. В теории чисел и комплексных чисел он впервые определил комплексные числа как пары действительных чисел. Он также писал о теории групп и подстановок, теории функций, дифференциальных уравнениях и определителях.

Теория волн, механика, эластичность

В теории света он работал над волновой теорией Френеля, а также над дисперсией и поляризацией света. Он также внес вклад в исследования в области механики, заменив представление о непрерывности геометрических перемещений принципом непрерывности материи. Он писал о равновесии стержней и упругих мембран, а также о волнах в упругих средах. Он ввел симметричную матрицу 3 × 3, которая теперь известна как тензор напряжений Коши. В теории упругости он заложил основы теории напряжений, и его результаты почти столь же значимы, как и результаты Симеона Пуассона.

Теория чисел

Другие значительные достижения включают в себя первое доказательство теоремы Ферма о многоугольных числах.

Комплексные функции

Коши наиболее известен разработкой теории комплексных функций. Первая основополагающая теорема, доказанная Коши, теперь известная как интегральная теорема Коши, была сформулирована следующим образом:

где f(z) – комплекснозначная функция, голоморфная на и внутри несамопересекающейся замкнутой кривой C (контура), лежащей в комплексной плоскости. Контурный интеграл берется вдоль контура C. Зачатки этой теоремы можно найти в работе, которую 24-летний Коши представил в Академию наук (тогда еще называвшуюся «Первый класс Института») 11 августа 1814 года. В полной форме теорема была сформулирована в 1825 году. В 1826 году Коши дал формальное определение остатка функции. Это понятие относится к функциям, имеющим полюса – изолированные особые точки, то есть точки, в которых функция стремится к положительной или отрицательной бесконечности. Если комплекснозначную функцию f(z) можно разложить в окрестности особой точки a в ряд

где φ(z) – аналитическая функция (то есть, хорошо определенная без особенностей), то f имеет полюс порядка n в точке a. Если n = 1, полюс называется простым. Коэффициент B1 Коши назвал остатком функции f в точке a. Если f не имеет особенностей в точке a, то остаток f в этой точке равен нулю. Очевидно, что в случае простого полюса остаток равен

где мы заменили B1 на современное обозначение остатка. В 1831 году, находясь в Турине, Коши представил две работы в Академию наук Турина. В первой он предложил формулу, ныне известную как интегральная формула Коши:

где f(z) аналитична на C и внутри области, ограниченной контуром C, а комплексное число a находится где-либо в этой области. Контурный интеграл берется против часовой стрелки. Очевидно, что подынтегральное выражение имеет простой полюс в точке z = a. Во второй работе он представил теорему об остатках:

где суммирование ведется по всем n полюсам функции f(z), лежащим на контуре C и внутри него. Эти результаты Коши до сих пор составляют основу теории комплексных функций, которую изучают физики и инженеры-электрики. Долгое время современники Коши игнорировали его теорию, считая ее слишком сложной. Только в 1840-х годах теория начала находить отклик, и Пьер Альфонс Лоран стал первым математиком, помимо Коши, внесшим существенный вклад (его работа над тем, что теперь известно как ряды Лорана, была опубликована в 1843 году).

Аналитический курс

В своей книге «Курс анализа» Коши подчеркивал важность строгости в анализе. Строгость в этом случае означала отказ от принципа общности алгебры (более ранних авторов, таких как Эйлер и Лагранж) и его замену геометрией и бесконечно малыми величинами. Джудит Грабинер пишет, что Коши был «человеком, который научил всю Европу строгому анализу». Эта книга часто упоминается как первое место, где в исчисление были введены неравенства и аргументы. Здесь Коши определил непрерывность следующим образом: Функция f(x) непрерывна относительно x между заданными пределами, если между этими пределами бесконечно малое приращение переменной всегда производит бесконечно малое приращение самой функции. М. Барани утверждает, что Эколь настояла на включении методов бесконечно малых вопреки мнению Коши. Гилен отмечает, что когда в 1825 году доля учебной программы, посвященная Analyse Algébrique, была сокращена, Коши настаивал на том, чтобы тема непрерывных функций (и, следовательно, также бесконечно малых величин) была помещена в начало дифференциального исчисления. Лаугвиц (1989) и Бенис Синасьер (1973) указывают, что Коши продолжал использовать бесконечно малые величины в своих собственных исследованиях вплоть до 1853 года. Коши дал явное определение бесконечно малой величины через последовательность, стремящуюся к нулю. Существует обширная литература, посвященная понятию Коши об «бесконечно малых величинах», в которой утверждается, что они приводят ко всему – от обычных «эпсилон-определений» до понятий нестандартного анализа. Считается, что Коши упустил или оставил неявными важные идеи, чтобы прояснить точный смысл бесконечно малых величин, которые он использовал.

Теорема Тейлора

Он был первым, кто строго доказал теорему Тейлора, установив его известную форму остаточного члена. Он написал учебник (см. иллюстрацию) для своих студентов в Политехнической школе, в котором изложил основные теоремы математического анализа с максимальной строгостью. В этой книге он сформулировал необходимое и достаточное условие существования предела в форме, которая используется и по сей день. Также из этой книги происходит известный критерий Коши для абсолютной сходимости: критерий сгущения Коши. В 1829 году он впервые дал определение функции комплексной переменной комплексного аргумента в другом учебнике. Однако, несмотря на это, в собственных научных работах Коши часто применял интуитивные, а не строгие методы; в результате одна из его теорем была опровергнута контрпримером Абеля, который впоследствии был устранен благодаря введению понятия равномерной непрерывности.

Принцип аргументации, стабильность

В статье, опубликованной в 1855 году, за два года до смерти Коши, он рассмотрел ряд теорем, одна из которых аналогична "Принципу аргумента", представленному во многих современных учебниках по комплексному анализу. В современных учебниках по теории управления принцип аргумента Коши часто используется для вывода критерия устойчивости Найквиста, который позволяет предсказывать устойчивость усилителей с отрицательной обратной связью и систем управления с отрицательной обратной связью. Таким образом, работы Коши оказали значительное влияние как на фундаментальную математику, так и на практическую инженерию.

Политика и религиозные убеждения

Августин Луи Коши вырос в семье убежденного роялиста. Это вынудило его отца бежать с семьей в Аркуэй во время Французской революции. Их жизнь там в то время была, по всей видимости, трудной; отец Августина Луи, Луи Франсуа, рассказывал, что в этот период они жили на рисе, хлебе и галетном печенье. В одном из абзацев письма Луи Франсуа к своей матери в Руан говорится:
«В любом случае, он унаследовал от отца твердые роялистские убеждения и поэтому отказался приносить присягу какому-либо правительству после свержения Карла X. Он был столь же убежденным католиком и членом Общества святого Винсента де Поля. Он также поддерживал связь с Обществом Иисуса и защищал их в Академии, когда это было политически неблагоразумно. Вероятно, именно его религиозный пыл побудил его заботиться о Шарле Эрмите во время его болезни и склонить его к веры католической. Это также вдохновило Коши ходатайствовать за ирландцев во время Великого голода в Ирландии. Его роялизм и религиозный пыл делали его человеком конфликтным, что создавало трудности в отношениях с коллегами. Он считал, что к нему несправедливо относятся из-за его убеждений, но его оппоненты полагали, что он намеренно провоцировал людей, порицая их по религиозным вопросам или защищая иезуитов после их роспуска. Нильс Хенрик Абель назвал его «фанатичным католиком» и добавил, что он «безумен, и с ним ничего нельзя поделать», но при этом высоко оценил его как математика. Взгляды Коши были широко непопулярны среди математиков, и когда Гульельмо Либри Каруччи делла Соммайя был назначен на должность профессора математики вместо него, он и многие другие посчитали, что причиной тому стали его взгляды. Когда Либри обвинили в краже книг, его заменил Жозеф Лиувилль, а не Коши, что привело к разрыву в отношениях между Лиувиллем и Коши. Другой спор, имевший политический подтекст, касался Жана Мари Констана Дюамеля и вопроса о неупругих ударах. Позже Жан Виктор Понселе доказал, что Коши был неправ.