Введение

Топологическая группа с компактной топологией
математика

В математике компактная (топологическая) группа — это топологическая группа, топология которой наделяет её структурой компактного топологического пространства (при этом результат операции над элементом группы также принадлежит группе). Компактные группы являются естественным обобщением конечных групп с дискретной топологией и обладают свойствами, которые существенно сохраняются. Для компактных групп существует хорошо разработанная теория, связанная с групповыми действиями и теорией представлений. Далее мы будем предполагать, что все группы являются пространствами Хаусдорфа.

Основная группа и центр

Важно знать, является ли соединенная компактная группа Ли просто связной, и если нет, определить ее фундаментальную группу. Для компактных групп Ли существует два основных подхода к вычислению фундаментальной группы. Первый подход применим к классическим компактным группам , , , и осуществляется индукцией по . Второй подход использует корневую систему и применим ко всем связным компактным группам Ли. Также важно знать центр соединенной компактной группы Ли. Центр классической группы можно легко вычислить "вручную", и в большинстве случаев состоит просто из корней из единицы (группа SO(2) является исключением — центр — это вся группа, даже если большинство элементов не являются корнями из единицы). Таким образом, например, центр состоит из n-х корней из единицы, умноженных на единицу, образуя циклическую группу порядка . В общем случае центр можно выразить через корневую решетку и ядро экспоненциального отображения для максимального тора. Общий метод показывает, например, что просто связная компактная группа, соответствующая исключительной корневой системе, имеет тривиальный центр. Таким образом, компактная группа является одной из очень немногих простых компактных групп, которые одновременно просто связны и не имеют центра. (Другие — и .)

Другие примеры

Среди групп, которые не являются группами Ли и, следовательно, не обладают структурой многообразия, примерами служат аддитивная группа Zp из p-адических целых чисел и конструкции, основанные на ней. Фактически, любая проконечная группа является компактной группой. Это означает, что группы Галуа являются компактными группами, что является фундаментальным фактом для теории алгебраических расширений в случае бесконечной степени. Двойственность Понтрягина предоставляет множество примеров компактных коммутативных групп, находящихся в двойственности с абелевыми дискретными группами.

Мера волос

Все компактные группы несут меру Гаара, которая инвариантна относительно как левого, так и правого сдвига (модульная функция должна быть непрерывным гомоморфизмом в положительные действительные числа (R+, ×), и, следовательно, в 1). Иными словами, эти группы унимодулярны. Меру Гаара легко нормализовать до вероятностной меры, аналогично dθ/2π на окружности. Вычисление такой меры Гаара во многих случаях не представляет труда; например, для ортогональных групп она была известна Адольфу Хурвицу, а в случае групп Ли всегда может быть выражена инвариантной дифференциальной формой. В проконечном случае существует множество подгрупп конечного индекса, и мера Гаара косета будет равна величине, обратной индексу. Поэтому интегралы часто можно вычислить достаточно прямо, что постоянно используется в теории чисел. Если G – компактная группа, а μ – соответствующая мера Гаара, то теорема Питера — Вейля обеспечивает разложение L²(G) как ортогональную прямую сумму конечномерных подпространств матричных коэффициентов неприводимых представлений G.

Теория представления

Теория представлений компактных групп (не обязательно групп Ли и не обязательно связных) была заложена теоремой Питера — Вейля. Герман Вейль впоследствии разработал детальную теорию характеров компактных связных групп Ли, основанную на теории максимальных торов. Полученная формула характеров Вейля стала одним из наиболее значительных результатов математики двадцатого века. Сочетание теоремы Питера — Вейля и формулы характеров Вейля позволило Вейлю провести полную классификацию представлений связной компактной группы Ли; эта теория описана в следующем разделе. Комбинация работ Вейля и теоремы Картана дает обзор всей теории представлений компактных групп G. А именно, согласно теореме Питера — Вейля, неразложимые унитарные представления ρ группы G реализуются в унитарной группе (конечной размерности), а их образ является замкнутой подгруппой унитарной группы в силу компактности. Теорема Картана утверждает, что Im(ρ) сама по себе должна быть подгруппой Ли в унитарной группе. Если G сама не является группой Ли, то для ρ должно существовать ядро. Далее можно построить обратную систему из конечномерных унитарных представлений, ядра которых становятся все меньше и меньше, которая отождествляет G с обратным пределом компактных групп Ли. Здесь тот факт, что в пределе находится верное представление G, является еще одним следствием теоремы Питера — Вейля. Таким образом, неизученная часть теории представлений компактных групп, грубо говоря, сводится к изучению комплексных представлений конечных групп. Эта теория богата деталями, но качественно хорошо понята.

Теория представления соединенной компактной группы Ли

Некоторые простые примеры теории представлений компактных групп Ли можно вычислить вручную, например, представления группы вращений SO(3), специальной унитарной группы SU(2) и специальной унитарной группы SU(3). Здесь мы сосредоточимся на общей теории. См. также параллельную теорию представлений полупростой алгебры Ли. На протяжении всего этого раздела мы фиксируем связную компактную группу Ли K и максимальный тор T в K.

Двойственность

Тема восстановления компактной группы по ее теории представлений является предметом дуальности Таннака — Крейна, которая в настоящее время часто формулируется в терминах теории таннакианских категорий.

От компактных групп к некомпактным

Влияние теории компактных групп на некомпактные группы было сформулировано Вейлем в его "унитарном трюке". Внутри любой общей полупростой группы Ли существует максимально компактная подгруппа, и теория представлений таких групп, в значительной степени разработанная Харишем Чандрой, интенсивно использует ограничение представления на эту подгруппу, а также модель теории характеров Вейля.