Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
1=Когда две функции имеют корациональные периоды, т. е. n T1 = m T2
1=When two functions have co rational periods, i. e. n T1 = m T2
В математике два ненулевых действительных числа a и b называются соизмеримыми, если их отношение является рациональным числом; в противном случае a и b называются несоизмеримыми. (Напомним, что рациональное число – это число, представимое в виде отношения двух целых чисел.) В теории групп существует более общее понятие соизмеримости. Например, числа 3 и 2 соизмеримы, потому что их отношение, 3/2, является рациональным числом. Числа √2 и 4 также соизмеримы, потому что их отношение, √2/4, является рациональным числом. Однако числа π и 2 несоизмеримы, потому что их отношение, π/2, является иррациональным числом. В более общем случае, непосредственно из определения следует, что если a и b – любые два ненулевых рациональных числа, то a и b соизмеримы; также непосредственно следует, что если a – любое иррациональное число, а b – любое ненулевое рациональное число, то a и b несоизмеримы. С другой стороны, если оба числа a и b являются иррациональными, то a и b могут быть как соизмеримыми, так и несоизмеримыми.
In mathematics, two non zero real numbers a and b are said to be commensurable if their ratio is a rational number; otherwise a and b are called incommensurable. (Recall that a rational number is one that is equivalent to the ratio of two integers.) There is a more general notion of commensurability in group theory. For example, the numbers 3 and 2 are commensurable because their ratio, , is a rational number. The numbers and are also commensurable because their ratio, , is a rational number. However, the numbers and 2 are incommensurable because their ratio, , is an irrational number. More generally, it is immediate from the definition that if a and b are any two non zero rational numbers, then a and b are commensurable; it is also immediate that if a is any irrational number and b is any non zero rational number, then a and b are incommensurable. On the other hand, if both a and b are irrational numbers, then a and b may or may not be commensurable.
В теории групп
В теории групп две подгруппы Γ1 и Γ2 группы G называются соизмеримыми, если пересечение Γ1 ∩ Γ2 имеет конечный индекс как в Γ1, так и в Γ2. Пример: Пусть a и b – ненулевые действительные числа. Тогда подгруппа действительных чисел R, порожденная a, соизмерима с подгруппой, порожденной b, тогда и только тогда, когда действительные числа a и b соизмеримы, в том смысле, что a/b рационально. Таким образом, теоретико-групповое понятие соизмеримости обобщает концепцию для действительных чисел. Существует аналогичное понятие для двух групп, которые не заданы как подгруппы одной и той же группы. Две группы G1 и G2 называются (абстрактно) соизмеримыми, если существуют подгруппы H1 ⊂ G1 и H2 ⊂ G2 конечного индекса, такие, что H1 изоморфна H2.
In group theory, two subgroups Γ1 and Γ2 of a group G are said to be commensurable if the intersection Γ1 ∩ Γ2 is of finite index in both Γ1 and Γ2. Example: Let a and b be nonzero real numbers. Then the subgroup of the real numbers R generated by a is commensurable with the subgroup generated by b if and only if the real numbers a and b are commensurable, in the sense that a/b is rational. Thus the group theoretic notion of commensurability generalizes the concept for real numbers. There is a similar notion for two groups which are not given as subgroups of the same group. Two groups G1 and G2 are (abstractly) commensurable if there are subgroups H1 ⊂ G1 and H2 ⊂ G2 of finite index such that H1 is isomorphic to H2.
В топологии
Два пути-связных топологических пространства иногда называют соизмеримыми, если у них есть гомеоморфные конечнолистовые накрывающие пространства. В зависимости от типа рассматриваемых пространств, в определении можно использовать эквивалентность по гомотопии или диффеоморфизмы вместо гомеоморфизмов. Если два пространства соизмеримы, то их фундаментальные группы также соизмеримы. Пример: любые две замкнутые поверхности рода не менее 2 соизмеримы между собой.
Two path connected topological spaces are sometimes said to be commensurable if they have homeomorphic finite sheeted covering spaces. Depending on the type of space under consideration, one might want to use homotopy equivalences or diffeomorphisms instead of homeomorphisms in the definition. If two spaces are commensurable, then their fundamental groups are commensurable. Example: any two closed surfaces of genus at least 2 are commensurable with each other.