Введение

Теорема в комплексном анализе

В математике интегральная теорема Коши (также известная как теорема Коши — Гурса), названная в честь Огюстена Луи Коши (и Эдуарда Гурса), является важным утверждением об обходных интегралах для голоморфных функций в комплексной плоскости. По существу, она утверждает, что если функция голоморфна в односвязной области Ω, то для любого просто замкнутого контура в Ω, этот обходной интеграл равен нулю.

Формулировка по просто связанным регионам

Пусть Ω — односвязное открытое множество, и пусть f — голоморфная функция. Пусть γ — гладкая замкнутая кривая. Тогда:

(Условие односвязности означает, что у Ω нет "дыр", или, другими словами, фундаментальная группа Ω тривиальна.)

Общая формулировка

Пусть — открытое множество, и пусть — голоморфная функция. Пусть — гладкая замкнутая кривая. Если гомотопна постоянной кривой, то:

(Напомним, что кривая гомотопна постоянной кривой, если существует гладкая гомотопия (внутри ) от кривой к постоянной кривой. Интуитивно это означает, что можно стянуть кривую в точку, не выходя за пределы пространства.) Первый случай является частным случаем этого, поскольку на простосвязном множестве любая замкнутая кривая гомотопна постоянной кривой.

Основной пример

В обоих случаях важно помнить, что кривая не обходит вокруг каких-либо "дыр" в области определения, иначе теорема неприменима. Классическим примером является следующая кривая:

которая описывает единичную окружность. Здесь следующий интеграл:

не равен нулю. Теорема Коши об интегралах здесь неприменима, поскольку функция не определена в точке. Интуитивно, кривая обходит "дыру" в области определения функции, поэтому её нельзя непрерывно деформировать в точку, не покинув область определения. Таким образом, теорема не применима.