Кіріспе
Комплекстік талдаудағы теорема. Математикада, Кауши интегралды теоремасы (сондай-ақ Кауши – Гурсат теоремасы деп аталады) күрделі талдаудағы, Аугустин Луи Кауши (және Эдуард Гурсат) есімімен аталған, күрделі жазықтықтағы голоморфтық функциялар үшін сызықтық интегралдар туралы маңызды тұжырым. Қорыта айтқанда, егер жай байланысты домендегі Ω голоморфтық болса, онда кез келген жай жабық контур үшін Ω, сол контур бойынша есептелген интеграл нөлге тең болады.
In mathematics, the Cauchy integral theorem (also known as the Cauchy–Goursat theorem) in complex analysis, named after Augustin Louis Cauchy (and Édouard Goursat), is an important statement about line integrals for holomorphic functions in the complex plane. Essentially, it says that if is holomorphic in a simply connected domain Ω, then for any simply closed contour in Ω, that contour integral is zero.
Жай ғана қосылған аймақтар туралы пішімдеу
Кез келген жай байланысқан ашық жиынтық пен голоморфтық функция болсын. Сондай-ақ, тегіс жабық қисық сызық болсын. Онда: (Жай байланысқан деген шарт, жиынтықта "саңылаулар" жоқ екенін білдіреді, яғни, оның негізгі тобы тривиальды.)
(The condition that be simply connected means that has no "holes", or in other words, that the fundamental group of is trivial.)
Жалпы пішімдеу
Ашық жиынтық және голоморфтық функция болсын. Бұл тегіс жабық қисық болсын. Егер қисық тұрақты қисыққа гомотоп болса, онда:
(Еске салайық, қисық тұрақты қисыққа гомотоп болып табылады, егер оны тұрақты қисыққа тегіс гомотопия арқылы өзгертуге болады (ішінде). Интуитивті түрде, бұл қисықты кеңістіктен шықпай, бір нүктеге дейін қысқартуға болады дегенді білдіреді.) Бірінші жағдай – бұл ерекше жағдай, себебі жай байланысқан жиынтықтағы әрбір жабық қисық тұрақты қисыққа гомотоп болады.
Негізгі мысал
Екі жағдайда да, қисық домендегі "тесіктерді" қоршап тұрмауы маңызды, әйтпесе теорема қолданылмайды. Мысал ретінде келесі қисық кеңінен танымал:
Ол бірлік шеңберді жасайды. Мұнда келесі интеграл:
нөлден өзгеше. Коши интегралды теоремасы мұнда қолданылмайды, себебі анықталмаған. Интуитивті түрде, -ның доменіндегі "тесікті" қоршап тұрады, сондықтан оны кеңістіктен шықпай, нүктеге дейін қысқарту мүмкін емес. Осылайша, теорема қолданылмайды.