Ряды Лорана: представление комплексных функций с отрицательными степенями. Альтернатива разложению в ряд Тейлора, названный в честь П. Лорана и К. Вейерштрасса.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Ряды степеней с отрицательными степенями, бесконечно двойные ряды степеней.
Power series with negative powers
doubly infinite power series
В математике ряд Лорана комплексной функции представляет эту функцию в виде степенного ряда, включающего слагаемые с отрицательными степенями. Он может быть использован для представления комплексных функций в случаях, когда нельзя применить разложение в ряд Тейлора. Ряд Лорана был назван в честь и впервые опубликован Пьером Альфонсом Лораном в 1843 году. Карл Вейерштрасс, возможно, открыл его раньше в статье, написанной в 1841 году, но она была опубликована лишь после его смерти.
In mathematics, the Laurent series of a complex function is a representation of that function as a power series which includes terms of negative degree. It may be used to express complex functions in cases where a Taylor series expansion cannot be applied. The Laurent series was named after and first published by Pierre Alphonse Laurent in 1843. Karl Weierstrass may have discovered it first in a paper written in 1841, but it was not published until after his death.
Полиномы Лоранта
Полином Лорана — это ряд Лорана, в котором конечное число коэффициентов отлично от нуля. Полиномы Лорана отличаются от обычных полиномов тем, что могут содержать члены с отрицательной степенью.
A Laurent polynomial is a Laurent series in which only finitely many coefficients are non zero. Laurent polynomials differ from ordinary polynomials in that they may have terms of negative degree.
Умножение и суммирование
Серия Лорана в общем случае не может быть перемножена. Алгебраически, выражение для членов произведения может содержать бесконечные суммы, которые не обязаны сходиться (нельзя брать свертку целочисленных последовательностей). Геометрически, два ряда Лорана могут иметь непересекающиеся области сходимости. Два ряда Лорана, содержащие лишь конечное число отрицательных членов, могут быть перемножены: алгебраически, все суммы конечны; геометрически, они имеют полюса в точке 0 и внутренний радиус сходимости, равный 0, поэтому оба сходятся на перекрывающейся области. Таким образом, при определении формального ряда Лорана требуется, чтобы ряд Лорана содержал лишь конечное число отрицательных членов. Аналогично, сумма двух сходящихся рядов Лорана не обязана сходиться, хотя она всегда определена формально, но сумма двух рядов Лорана, ограниченных снизу (или любого ряда Лорана на проколотом диске), имеет непустую область сходимости. Также, для поля K, по сумме и умножению, определенным выше, формальные ряды Лорана образуют поле, которое также является полем частных кольца формальных степенных рядов.
Laurent series cannot in general be multiplied. Algebraically, the expression for the terms of the product may involve infinite sums which need not converge (one cannot take the convolution of integer sequences). Geometrically, the two Laurent series may have non overlapping annuli of convergence. Two Laurent series with only finitely many negative terms can be multiplied: algebraically, the sums are all finite; geometrically, these have poles at , and inner radius of convergence 0, so they both converge on an overlapping annulus. Thus when defining formal Laurent series, one requires Laurent series with only finitely many negative terms. Similarly, the sum of two convergent Laurent series need not converge, though it is always defined formally, but the sum of two bounded below Laurent series (or any Laurent series on a punctured disk) has a non empty annulus of convergence. Also, for a field , by the sum and multiplication defined above, formal Laurent series would form a field which is also the field of fractions of the ring of formal power series.