Введение
Теорема, описывающая несовместимость картины взаимодействия с релятивистскими квантовыми полями. Работая над математической физикой взаимодействующей релятивистской квантовой теории поля, Рудольф Хааг разработал аргумент против существования картины взаимодействия, результат, который теперь широко известен как теорема Хаага. Первоначальное доказательство Хаага опиралось на конкретную форму общепринятых в то время теорий поля, но впоследствии было обобщено рядом авторов, в частности Холлом и Уайтманом, которые пришли к выводу, что не существует единого универсального гильбертова пространства, способного описать как свободные, так и взаимодействующие поля. Обобщение, предложенное Ридом и Саймоном, показывает, что это применимо к свободным нейтральным скалярным полям с разными массами, что подразумевает, что картина взаимодействия всегда является несогласованной, даже в случае свободного поля.
While working on the mathematical physics of an interacting, relativistic, quantum field theory, Rudolf Haag developed an argument against the existence of the interaction picture, a result now commonly known as Haag’s theorem. Haag’s original proof relied on the specific form of then common field theories, but subsequently generalized by a number of authors, notably Hall & Wightman, who concluded that no single, universal Hilbert space representation can describe both free and interacting fields. A generalization due to Reed & Simon shows that applies to free neutral scalar fields of different masses, which implies that the interaction picture is always inconsistent, even in the case of a free field.
Введение
Традиционно, описание квантовой теории поля требует описания набора операторов, удовлетворяющих каноническим (анти)коммутационным соотношениям, и гильбертова пространства, на котором эти операторы действуют. Эквивалентно, следует задать представление свободной алгебры, порожденной этими операторами, по модулю канонических коммутационных соотношений (алгебра ККР/КАР); в последнем подходе базовая алгебра операторов одна и та же, но различные теории поля соответствуют различным (т.е. унитарно неэквивалентным) представлениям. С философской точки зрения, действие алгебры ККР должно быть неприводимым, иначе теорию можно представить как комбинированный эффект двух отдельных полей. Этот принцип подразумевает существование циклического вакуумного состояния. Важно отметить, что вакуум однозначно определяет представление алгебры, поскольку он цикличен. Существует два распространенных способа спецификации вакуума: как минимальный собственный вектор энергии гамильтониана поля, или как состояние, аннигилируемое оператором числа N = a†a. Если эти спецификации описывают разные векторы, то говорят, что вакуум поляризован, по аналогии с физической интерпретацией в квантовой электродинамике. Результат Хаага показывает, что одна и та же квантовая теория поля должна по-разному обращаться с вакуумом в случае взаимодействия и в свободном состоянии.
Физическая / эвристическая точка зрения
Как уже заметил Хаг в своей оригинальной работе, именно поляризация вакуума лежит в основе теоремы Хага. Любое взаимодействующее квантовое поле (включая не взаимодействующие поля различных масс) поляризует вакуум, и, как следствие, его вакуумное состояние находится в ренормализованном гильбертовом пространстве, которое отличается от гильбертова пространства свободного поля. Хотя всегда можно найти изоморфизм, отображающий одно гильбертово пространство в другое, теорема Хага подразумевает, что никакое такое отображение не может дать унитарно эквивалентные представления соответствующих канонических коммутационных соотношений, то есть однозначные физические результаты.
Обходные пути
Среди предположений, лежащих в основе теоремы Гаага, – трансляционная инвариантность системы. Следовательно, системы, которые можно создать в коробке с периодическими граничными условиями или которые взаимодействуют с подходящими внешними потенциалами, не подпадают под действие выводов этой теоремы. Хааг (1958) и Руэлль (1962) разработали теорию рассеяния Хаага — Руэля, которая рассматривает асимптотические свободные состояния и тем самым формализует некоторые предположения, необходимые для формулы редукции LSZ. Однако эти методы неприменимы к безмассовым частицам и содержат нерешенные проблемы, связанные со связанными состояниями.