Введение

Квантовый оператор для суммы энергий системы

В квантовой механике гамильтониан системы — это оператор, соответствующий полной энергии этой системы, включающей как кинетическую, так и потенциальную энергию. Его спектр, или энергетический спектр системы, представляет собой набор собственных значений энергии, который определяет возможные результаты измерения полной энергии системы. Благодаря тесной связи с энергетическим спектром и временной эволюцией системы, гамильтониан имеет фундаментальное значение в большинстве формулировок квантовой теории. Гамильтониан назван в честь Уильяма Роуэна Гамильтона, разработавшего революционную переформулировку ньютоновской механики, известную как гамильтонова механика, которая исторически сыграла важную роль в развитии квантовой физики. Как и в векторной нотации, он обычно обозначается , где символ «с крышкой» указывает на то, что это оператор. Его также можно записать как или .

Введение

Гамильтониан системы представляет собой полную энергию системы, то есть сумму кинетической и потенциальной энергий всех частиц, связанных с этой системой. Гамильтониан может принимать различные формы и в некоторых случаях может быть упрощен с учетом конкретных характеристик анализируемой системы, таких как наличие одной или нескольких частиц, взаимодействие между частицами, вид потенциальной энергии, потенциал, изменяющийся во времени, или не зависящий от времени.

Выражения для гамильтонова

Ниже приведены выражения для гамильтониана в различных ситуациях. Обычно выражения классифицируют по числу частиц, числу измерений и характеру функции потенциальной энергии — в особенности, по её зависимости от пространства и времени. Массы обозначаются , а заряды — .

Жесткий ротор

Для жесткого ротора — то есть системы частиц, которые могут свободно вращаться вокруг любых осей и не связаны каким-либо потенциалом (например, свободные молекулы с пренебрежимо малыми колебательными степенями свободы, обусловленными двойными или тройными химическими связями), гамильтониан имеет вид:

где , , и — компоненты момента инерции (технически, диагональные элементы тензора инерции), а , , и — операторы полного углового момента (компоненты), относительно осей , , и соответственно.