Введение
Матрицы, важные в квантовой механике и изучении спина. В математической физике и математике матрицы Паули — это набор из трёх 2 × 2 комплексных матриц, являющихся эрмитовыми, инволюторными и унитарными. Обычно обозначаются греческой буквой сигма (σ), а иногда — тау (τ) при использовании в связи с изоспиновой симметрией. Эти матрицы названы в честь физика Вольфганга Паули. В квантовой механике они встречаются в уравнении Паули, которое учитывает взаимодействие спина частицы с внешним электромагнитным полем. Они также описывают состояния взаимодействия двух поляризационных фильтров для горизонтальной/вертикальной поляризации, поляризации под углом 45 градусов (правой/левой) и круговой поляризации (правой/левой). Каждая матрица Паули является эрмитовой, и вместе с единичной матрицей I (иногда рассматриваемой как нулевая матрица Паули) матрицы Паули образуют базис для вещественного векторного пространства 2 × 2 эрмитовых матриц. Это означает, что любую 2 × 2 эрмитову матрицу можно единственным образом представить в виде линейной комбинации матриц Паули, где все коэффициенты — действительные числа. Эрмитовы операторы представляют собой наблюдаемые в квантовой механике, поэтому матрицы Паули охватывают пространство наблюдаемых комплексного двумерного гильбертова пространства. В контексте работ Паули обозначает наблюдаемую, соответствующую спину вдоль k-й координатной оси в трёхмерном евклидовом пространстве.
In mathematical physics and mathematics, the Pauli matrices are a set of three 2 × 2 complex matrices that are Hermitian, involutory and unitary. Usually indicated by the Greek letter sigma (σ), they are occasionally denoted by tau (τ) when used in connection with isospin symmetries. These matrices are named after the physicist Wolfgang Pauli. In quantum mechanics, they occur in the Pauli equation, which takes into account the interaction of the spin of a particle with an external electromagnetic field. They also represent the interaction states of two polarization filters for horizontal / vertical polarization, 45 degree polarization (right/left), and circular polarization (right/left). Each Pauli matrix is Hermitian, and together with the identity matrix I (sometimes considered as the zeroth Pauli matrix ), the Pauli matrices form a basis for the real vector space of 2 × 2 Hermitian matrices. This means that any 2 × 2 Hermitian matrix can be written in a unique way as a linear combination of Pauli matrices, with all coefficients being real numbers. Hermitian operators represent observables in quantum mechanics, so the Pauli matrices span the space of observables of the complex two dimensional Hilbert space. In the context of Pauli's work, represents the observable corresponding to spin along the kth coordinate axis in three dimensional Euclidean space
The Pauli matrices (after multiplication by i to make them anti Hermitian) also generate transformations in the sense of Lie algebras: the matrices form a basis for the real Lie algebra , which exponentiates to the special unitary group SU(2). The algebra generated by the three matrices is isomorphic to the Clifford algebra of and the (unital) associative algebra generated by functions identically (is isomorphic) to that of quaternions .
Матрицы Паули (после умножения на i для придания им антиэрмитовости) также порождают преобразования в смысле алгебр Ли: матрицы образуют базис для вещественной алгебры Ли , которая экспоненцируется в специальную унитарную группу SU(2). Алгебра, порождённая тремя матрицами , изоморфна алгебре Клиффорда, а (унитальная) ассоциативная алгебра, порождённая функциями, идентична (изоморфна) алгебре кватернионов.
In mathematical physics and mathematics, the Pauli matrices are a set of three 2 × 2 complex matrices that are Hermitian, involutory and unitary. Usually indicated by the Greek letter sigma (σ), they are occasionally denoted by tau (τ) when used in connection with isospin symmetries. These matrices are named after the physicist Wolfgang Pauli. In quantum mechanics, they occur in the Pauli equation, which takes into account the interaction of the spin of a particle with an external electromagnetic field. They also represent the interaction states of two polarization filters for horizontal / vertical polarization, 45 degree polarization (right/left), and circular polarization (right/left). Each Pauli matrix is Hermitian, and together with the identity matrix I (sometimes considered as the zeroth Pauli matrix ), the Pauli matrices form a basis for the real vector space of 2 × 2 Hermitian matrices. This means that any 2 × 2 Hermitian matrix can be written in a unique way as a linear combination of Pauli matrices, with all coefficients being real numbers. Hermitian operators represent observables in quantum mechanics, so the Pauli matrices span the space of observables of the complex two dimensional Hilbert space. In the context of Pauli's work, represents the observable corresponding to spin along the kth coordinate axis in three dimensional Euclidean space
The Pauli matrices (after multiplication by i to make them anti Hermitian) also generate transformations in the sense of Lie algebras: the matrices form a basis for the real Lie algebra , which exponentiates to the special unitary group SU(2). The algebra generated by the three matrices is isomorphic to the Clifford algebra of and the (unital) associative algebra generated by functions identically (is isomorphic) to that of quaternions .
Эгенвекторы и собственные значения
Каждая из (эрмитовых) матриц Паули имеет два собственных значения: +1 и −1. Соответствующие нормированные собственные векторы:
SU ((2))
Группа SU(2) — это группа Ли унитарных матриц 2 × 2 с детерминантом, равным единице; её алгебра Ли — множество всех 2 × 2 антиэрмитовых матриц с нулевым следом. Прямой расчет, как описано выше, показывает, что алгебра Ли является трехмерной вещественной алгеброй, порожденной множеством в компактной записи.
As a result, each can be seen as an infinitesimal generator of SU(2). The elements of SU(2) are exponentials of linear combinations of these three generators, and multiply as indicated above in discussing the Pauli vector. Although this suffices to generate SU(2), it is not a proper representation of su(2), as the Pauli eigenvalues are scaled unconventionally. The conventional normalization is so that
As SU(2) is a compact group, its Cartan decomposition is trivial.
В результате каждый из них может рассматриваться как бесконечно малый генератор SU(2). Элементы SU(2) являются экспонентами линейных комбинаций этих трех генераторов и перемножаются так, как было указано выше при обсуждении вектора Паули. Хотя этого достаточно для генерации SU(2), это не является корректным представлением su(2), поскольку собственные значения Паули нормированы нестандартным образом. Стандартная нормализация такова, что поскольку SU(2) является компактной группой, её разложение Картана тривиально.
As a result, each can be seen as an infinitesimal generator of SU(2). The elements of SU(2) are exponentials of linear combinations of these three generators, and multiply as indicated above in discussing the Pauli vector. Although this suffices to generate SU(2), it is not a proper representation of su(2), as the Pauli eigenvalues are scaled unconventionally. The conventional normalization is so that
As SU(2) is a compact group, its Cartan decomposition is trivial.
СО ((3)
Алгебра Ли изоморфна алгебре Ли, которая соответствует группе Ли SO(3), группе вращений в трехмерном пространстве. Иными словами, можно сказать, что они представляют собой реализацию (и, фактически, реализацию наименьшей размерности) бесконечно малых вращений в трехмерном пространстве. Однако, несмотря на то, что и изоморфны как алгебры Ли, SU(2) и SO(3) не изоморфны как группы Ли. SU(2) фактически является двойным накрытием SO(3), то есть существует гомоморфизм группы из SU(2) в SO(3) с коэффициентом два к одному, см. связь между SO(3) и SU(2).
Квантовая информация
В квантовой информации, однокубитные квантовые ворота представляются 2 × 2 унитарными матрицами. Матрицы Паули — одни из наиболее важных операций над одним кубитом. В этом контексте разложение Картана, представленное выше, называется "Z–Y разложением однокубитного ворот". Выбор другой пары Картана приводит к аналогичному "X–Y разложению однокубитного ворот".