Математические основы квантовой механики

Введение

Математические структуры, позволяющие объяснить квантовую механику.

Математические формулировки квантовой механики – это математические формализмы, позволяющие строго описать квантовую механику. Этот математический формализм использует преимущественно раздел функционального анализа, особенно пространства Гильберта, которые являются разновидностью линейного пространства. Они отличаются от математических формализмов для физических теорий, разработанных до начала 1900-х годов, использованием абстрактных математических структур, таких как бесконечномерные пространства Гильберта (преимущественно пространство L2) и операторы, действующие в этих пространствах. Вкратце, значения физических величин, таких как энергия и импульс, стали рассматриваться не как значения функций на фазовом пространстве, а как собственные значения; точнее, как спектральные значения линейных операторов в пространстве Гильберта. Эти формулировки квантовой механики продолжают использоваться и сегодня. В основе описания лежат понятия квантового состояния и квантовых наблюдаемых, которые радикально отличаются от тех, что использовались в предыдущих моделях физической реальности. Хотя математика позволяет вычислять многие величины, которые можно измерить экспериментально, существует определенный теоретический предел для значений, которые могут быть одновременно измерены. Это ограничение было впервые установлено Гейзенбергом в ходе мысленного эксперимента и математически выражено в новом формализме некоммутативностью операторов, представляющих квантовые наблюдаемые. До развития квантовой механики как самостоятельной теории, математика, используемая в физике, состояла в основном из формального математического анализа, начиная с дифференциального и интегрального исчисления и усложняясь до дифференциальной геометрии и уравнений в частных производных. Теория вероятностей применялась в статистической механике. Геометрическая интуиция играла важную роль в первых двух, и, соответственно, теории относительности были сформулированы полностью в терминах дифференциально-геометрических понятий. Феноменология квантовой физики возникла примерно между 1895 и 1915 годами, и в течение 10–15 лет до развития квантовой механики (около 1925 года) физики продолжали рассматривать квантовую теорию в рамках классической физики, и в частности, в тех же математических структурах. Наиболее сложным примером этого является правило квантования Зоммерфельда — Вильсона — Ишивары, которое было сформулировано исключительно на классическом фазовом пространстве.

The mathematical formulations of quantum mechanics are those mathematical formalisms that permit a rigorous description of quantum mechanics. This mathematical formalism uses mainly a part of functional analysis, especially Hilbert spaces, which are a kind of linear space. Such are distinguished from mathematical formalisms for physics theories developed prior to the early 1900s by the use of abstract mathematical structures, such as infinite dimensional Hilbert spaces (L2 space mainly), and operators on these spaces. In brief, values of physical observables such as energy and momentum were no longer considered as values of functions on phase space, but as eigenvalues; more precisely as spectral values of linear operators in Hilbert space. These formulations of quantum mechanics continue to be used today. At the heart of the description are ideas of quantum state and quantum observables, which are radically different from those used in previous models of physical reality. While the mathematics permits calculation of many quantities that can be measured experimentally, there is a definite theoretical limit to values that can be simultaneously measured. This limitation was first elucidated by Heisenberg through a thought experiment, and is represented mathematically in the new formalism by the non commutativity of operators representing quantum observables. Prior to the development of quantum mechanics as a separate theory, the mathematics used in physics consisted mainly of formal mathematical analysis, beginning with calculus, and increasing in complexity up to differential geometry and partial differential equations. Probability theory was used in statistical mechanics. Geometric intuition played a strong role in the first two and, accordingly, theories of relativity were formulated entirely in terms of differential geometric concepts. The phenomenology of quantum physics arose roughly between 1895 and 1915, and for the 10 to 15 years before the development of quantum mechanics (around 1925) physicists continued to think of quantum theory within the confines of what is now called classical physics, and in particular within the same mathematical structures. The most sophisticated example of this is the Sommerfeld–Wilson–Ishiwara quantization rule, which was formulated entirely on the classical phase space.

"Старая квантовая теория" и необходимость в новой математике

В 1890-х годах Планк смог вывести спектр черного тела, который позже использовался для избежания классической ультрафиолетовой катастрофы, выдвинув неортодоксальное предположение о том, что при взаимодействии электромагнитного излучения с материей энергия может обмениваться только дискретными порциями, которые он назвал квантами. Планк постулировал прямую пропорциональность между частотой излучения и квантом энергии на этой частоте. Коэффициент пропорциональности, h, теперь называется постоянной Планка в его честь. В 1905 году Эйнштейн объяснил некоторые особенности фотоэлектрического эффекта, предположив, что энергетические кванты Планка являются реальными частицами, которые впоследствии были названы фотонами. Все эти разработки носили феноменологический характер и бросали вызов теоретической физике того времени. Бор и Сомерфельд продолжили модифицировать классическую механику в попытке вывести модель Бора из первых принципов. Они предложили, что из всех замкнутых классических орбит, описываемых механической системой в фазовом пространстве, разрешены только те, которые охватывают площадь, кратную постоянной Планка. Наиболее развитой версией этого формализма была так называемая квантизация Сомерфельда — Уилсона — Ишивары. Хотя модель атома водорода Бора могла быть объяснена таким образом, спектр атома гелия (классически неразрешимая задача о трех телах) предсказать не удавалось. Математический статус квантовой теории оставался неопределенным в течение некоторого времени. В 1923 году де Бройль предположил, что корпускулярно-волновой дуализм применим не только к фотонам, но и к электронам и любой другой физической системе. Ситуация быстро изменилась в 1925–1930 годах, когда благодаря новаторским работам Эрвина Шрёдингера, Вернера Гейзенберга, Макса Борна, Паскуаля Иордана и основополагающим работам Джона фон Неймана, Германа Вейля и Пола Дирака были найдены рабочие математические основы, и стало возможным объединить различные подходы на основе нового набора идей. Физическая интерпретация теории также была уточнена в эти годы после того, как Вернер Гейзенберг открыл соотношения неопределенности, а Нильс Бор ввел понятие дополнительности.

In the 1890s, Planck was able to derive the blackbody spectrum, which was later used to avoid the classical ultraviolet catastrophe by making the unorthodox assumption that, in the interaction of electromagnetic radiation with matter, energy could only be exchanged in discrete units which he called quanta. Planck postulated a direct proportionality between the frequency of radiation and the quantum of energy at that frequency. The proportionality constant, h, is now called Planck's constant in his honor. In 1905, Einstein explained certain features of the photoelectric effect by assuming that Planck's energy quanta were actual particles, which were later dubbed photons. All of these developments were phenomenological and challenged the theoretical physics of the time. Bohr and Sommerfeld went on to modify classical mechanics in an attempt to deduce the Bohr model from first principles. They proposed that, of all closed classical orbits traced by a mechanical system in its phase space, only the ones that enclosed an area which was a multiple of Planck's constant were actually allowed. The most sophisticated version of this formalism was the so called Sommerfeld–Wilson–Ishiwara quantization. Although the Bohr model of the hydrogen atom could be explained in this way, the spectrum of the helium atom (classically an unsolvable 3 body problem) could not be predicted. The mathematical status of quantum theory remained uncertain for some time. In 1923, de Broglie proposed that wave–particle duality applied not only to photons but to electrons and every other physical system. The situation changed rapidly in the years 1925–1930, when working mathematical foundations were found through the groundbreaking work of Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Pascual Jordan, and the foundational work of John von Neumann, Hermann Weyl and Paul Dirac, and it became possible to unify several different approaches in terms of a fresh set of ideas. The physical interpretation of the theory was also clarified in these years after Werner Heisenberg discovered the uncertainty relations and Niels Bohr introduced the idea of complementarity.

"Новая квантовая теория"

Матричная механика Вернера Гейзенберга была первой успешной попыткой воспроизвести наблюдаемое квантование атомных спектров. Позже в том же году Шрёдингер создал свою волновую механику. Формализм Шрёдингера считался более легким для понимания, визуализации и вычислений, поскольку он приводил к дифференциальным уравнениям, решение которых физикам уже было знакомо. В течение года было показано, что обе теории эквивалентны. Сам Шрёдингер изначально не понимал фундаментальной вероятностной природы квантовой механики, полагая, что абсолютный квадрат волновой функции электрона следует интерпретировать как плотность заряда объекта, размазанного по расширенному, возможно, бесконечному объему пространства. Именно Макс Борн ввел интерпретацию абсолютного квадрата волновой функции как распределения вероятности положения точечного объекта. Эта идея Борна вскоре была подхвачена Нильсом Бором в Копенгагене, который впоследствии стал "отцом" копенгагенской интерпретации квантовой механики. Волновая функция Шрёдингера тесно связана с классическим уравнением Гамильтона — Якоби. Соответствие классической механике было еще более явным, хотя и несколько более формальным, в матричной механике Гейзенберга. В своей диссертации Пол Дирак обнаружил, что уравнение для операторов в представлении Гейзенберга (как его теперь называют) тесно соответствует классическим уравнениям динамики определенных величин в гамильтоновом формализме классической механики при их выражении через скобки Пуассона – процедуре, известной как каноническое квантование. Если быть точным, еще до Шрёдингера молодой постдокторант Вернер Гейзенберг изобрел свою матричную механику, которая стала первой корректной квантовой механикой – существенным прорывом. Формулировка матричной механики Гейзенберга основывалась на алгебрах бесконечных матриц, что было весьма радикальным подходом с точки зрения математики классической физики, хотя он исходил из индексной терминологии экспериментаторов того времени, даже не подозревая, что его "индексные схемы" являются матрицами, как вскоре указал ему Борн. В те ранние годы линейная алгебра в ее современном виде не была широко распространена среди физиков. Хотя Шрёдингер сам через год доказал эквивалентность своей волновой механики и матричной механики Гейзенберга, примирение этих двух подходов и их современная абстракция как движения в гильбертовом пространстве обычно приписываются Полу Дираку, который изложил это ясно в своей классической книге «Принципы квантовой механики» 1930 года. Он является третьим и, возможно, самым важным столпом этой области (вскоре он стал единственным, кто открыл релятивистское обобщение теории). В вышеупомянутой книге он ввел обозначение «дирак-бра-кет» (bra-ket notation) вместе с абстрактной формулировкой в терминах гильбертова пространства, используемого в функциональном анализе; он показал, что подходы Шрёдингера и Гейзенберга представляют собой два различных представления одной и той же теории и нашел третье, наиболее общее представление, описывающее динамику системы. Его работа оказалась особенно плодотворной для многих обобщений этой области. Первая полная математическая формулировка этого подхода, известная как аксиомы Дирака — фон Неймана, обычно приписывается книге Джона фон Неймана 1932 года «Математические основы квантовой механики», хотя Герман Вейль уже упоминал гильбертовы пространства (которые он называл унитарными пространствами) в своей классической работе и книге 1927 года. Она разрабатывалась параллельно с новым подходом к математической спектральной теории, основанным на линейных операторах, а не на квадратичных формах, которые использовал Дэвид Гильберт поколением ранее. Хотя теории квантовой механики продолжают развиваться и сегодня, существует базовая структура математической формулировки квантовой механики, лежащая в основе большинства подходов и восходящая к математическим работам Джона фон Неймана. Иными словами, дискуссии об интерпретации теории и ее расширениях в настоящее время в основном ведутся на основе общих предположений о математических основах.

Werner Heisenberg's matrix mechanics was the first successful attempt at replicating the observed quantization of atomic spectra. Later in the same year, Schrödinger created his wave mechanics. Schrödinger's formalism was considered easier to understand, visualize and calculate as it led to differential equations, which physicists were already familiar with solving. Within a year, it was shown that the two theories were equivalent. Schrödinger himself initially did not understand the fundamental probabilistic nature of quantum mechanics, as he thought that the absolute square of the wave function of an electron should be interpreted as the charge density of an object smeared out over an extended, possibly infinite, volume of space. It was Max Born who introduced the interpretation of the absolute square of the wave function as the probability distribution of the position of a pointlike object. Born's idea was soon taken over by Niels Bohr in Copenhagen who then became the "father" of the Copenhagen interpretation of quantum mechanics. Schrödinger's wave function can be seen to be closely related to the classical Hamilton–Jacobi equation. The correspondence to classical mechanics was even more explicit, although somewhat more formal, in Heisenberg's matrix mechanics. In his PhD thesis project, Paul Dirac discovered that the equation for the operators in the Heisenberg representation, as it is now called, closely translates to classical equations for the dynamics of certain quantities in the Hamiltonian formalism of classical mechanics, when one expresses them through Poisson brackets, a procedure now known as canonical quantization. To be more precise, already before Schrödinger, the young postdoctoral fellow Werner Heisenberg invented his matrix mechanics, which was the first correct quantum mechanics–– the essential breakthrough. Heisenberg's matrix mechanics formulation was based on algebras of infinite matrices, a very radical formulation in light of the mathematics of classical physics, although he started from the index terminology of the experimentalists of that time, not even aware that his "index schemes" were matrices, as Born soon pointed out to him. In fact, in these early years, linear algebra was not generally popular with physicists in its present form. Although Schrödinger himself after a year proved the equivalence of his wave mechanics and Heisenberg's matrix mechanics, the reconciliation of the two approaches and their modern abstraction as motions in Hilbert space is generally attributed to Paul Dirac, who wrote a lucid account in his 1930 classic The Principles of Quantum Mechanics. He is the third, and possibly most important, pillar of that field (he soon was the only one to have discovered a relativistic generalization of the theory). In his above mentioned account, he introduced the bra–ket notation, together with an abstract formulation in terms of the Hilbert space used in functional analysis; he showed that Schrödinger's and Heisenberg's approaches were two different representations of the same theory, and found a third, most general one, which represented the dynamics of the system. His work was particularly fruitful in many types of generalizations of the field. The first complete mathematical formulation of this approach, known as the Dirac–von Neumann axioms, is generally credited to John von Neumann's 1932 book Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, although Hermann Weyl had already referred to Hilbert spaces (which he called unitary spaces) in his 1927 classic paper and book. It was developed in parallel with a new approach to the mathematical spectral theory based on linear operators rather than the quadratic forms that were David Hilbert's approach a generation earlier. Though theories of quantum mechanics continue to evolve to this day, there is a basic framework for the mathematical formulation of quantum mechanics which underlies most approaches and can be traced back to the mathematical work of John von Neumann. In other words, discussions about interpretation of the theory, and extensions to it, are now mostly conducted on the basis of shared assumptions about the mathematical foundations.

Постулаты квантовой механики

Физическая система обычно описывается тремя основными компонентами: состояниями, наблюдаемыми и динамикой (или законом эволюции во времени), либо, в более общем случае, группой физических симметрий. Классическое описание может быть дано достаточно прямолинейно с помощью фазового пространства в рамках механики: состояния представляются точками в фазовом пространстве, заданном симплектическим многообразием, наблюдаемые – это вещественнозначные функции на нем, эволюция во времени описывается однопараметрической группой симплектических преобразований фазового пространства, а физические симметрии реализуются симплектическими преобразованиями. Квантовое описание обычно состоит из гильбертова пространства состояний, наблюдаемые – это самосопряженные операторы в этом пространстве, эволюция во времени описывается однопараметрической группой унитарных преобразований гильбертова пространства состояний, а физические симметрии реализуются унитарными преобразованиями. (Эту картину гильбертова пространства можно перевести в фазовое пространство обратимым образом. См. ниже.) Следующее обобщение математического аппарата квантовой механики частично восходит к аксиомам Дирака — фон Неймана.

Описание физических величин

Физические величины описываются эрмитовыми матрицами в пространстве H. Поскольку эти операторы эрмитовы, их собственные значения всегда вещественны и соответствуют возможным результатам измерения данной физической величины. Если спектр физической величины дискретен, то возможные результаты измерения квантованы.

Влияние измерения на состояние

Когда выполняется измерение, получается только один результат (согласно некоторым интерпретациям квантовой механики). Это математически моделируется как обработка дополнительной информации, полученной в результате измерения, которая сужает вероятности немедленного повторного измерения той же самой наблюдаемой. В случае дискретного, невырожденного спектра, два последовательных измерения одной и той же наблюдаемой всегда дадут одно и то же значение, при условии, что второе измерение следует непосредственно за первым. Следовательно, вектор состояния должен изменяться в результате измерения и коллапсировать в собственное подпространство, соответствующее измеренному собственному значению. Для смешанного состояния ρ, после получения собственного значения в дискретном, невырожденном спектре соответствующей наблюдаемой, обновленное состояние определяется как: Если собственное значение имеет вырожденные, ортонормированные собственные векторы, то оператор проекции на собственное подпространство равен. Постулат II.c иногда называют "правилом обновления состояния" или "правилом коллапса"; вместе с правилом Борна (Постулаты II.a и II.b) они формируют полное описание измерений и иногда коллективно называются постулатами измерения. Важно отметить, что проекционно-значные меры (PVM), описанные в постулатах измерения, могут быть обобщены до положительно-операторно-значных мер (POVM), которые являются наиболее общим типом измерения в квантовой механике. POVM можно понимать как эффект на компонентную подсистему при выполнении PVM на большей, составной системе (см. теорему о расширении Наймарка).

Другие последствия постулатов

Физические симметрии действуют на гильбертово пространство квантовых состояний унитарно или антиунитарно в соответствии с теоремой Вигнера (суперсимметрия – это совершенно отдельный вопрос). Операторы плотности – это операторы, принадлежащие замыканию выпуклой оболочки одномерных ортогональных проекторов. Обратно, одномерные ортогональные проекторы являются экстремальными точками множества операторов плотности. Физики также называют одномерные ортогональные проекторы чистыми состояниями, а остальные операторы плотности – смешанными состояниями. В рамках этой формализации можно сформулировать принцип неопределенности Гейзенберга и доказать его как теорему, хотя точная историческая последовательность событий, касающаяся того, кто, что и в каких рамках вывел, является предметом исторических исследований, выходящих за рамки данной статьи. Недавние исследования показали, что постулат о композитной системе (постулат тензорного произведения) может быть выведен из постулата о состоянии (постулат I) и постулатов измерения (постулат II). Более того, было также показано, что постулаты измерения (постулат II) могут быть выведены из "унитарной квантовой механики", которая включает только постулат о состоянии (постулат I), постулат о композитной системе (постулат тензорного произведения) и постулат унитарной эволюции (постулат III). Кроме того, к постулатам квантовой механики следует добавить и базовые утверждения о свойствах спина и принципе исключения Паули, см. ниже.

Свернуть

В дополнение к другим свойствам, все частицы обладают величиной, называемой спином – внутренним угловым моментом. Несмотря на название, частицы не вращаются буквально вокруг оси, и квантово-механический спин не имеет аналога в классической физике. В позиционном представлении, волновая функция частицы без спина имеет положение 'r' и время t в качестве непрерывных переменных: ψ = ψ('r', t). Для спиновых волновых функций спин является дополнительной дискретной переменной: ψ = ψ('r', t, σ), где σ принимает значения;

То есть, состояние отдельной частицы со спином S описывается (2S + 1)-компонентным спинором комплекснозначных волновых функций. Существуют два класса частиц с принципиально разным поведением: бозоны, которые имеют целый спин (S = 0, 1, 2, ...), и фермионы, обладающие полуцелым спином.

Постулат симметризации

В квантовой механике две частицы можно различить друг от друга двумя способами. Путем измерения внутренних свойств каждой частицы можно различить частицы разных типов. В противном случае, если частицы идентичны, можно отслеживать их траектории, что позволяет различить частицы на основе локализации каждой из них. В то время как второй метод допустим в классической механике (то есть все классические частицы считаются различимыми), то же самое нельзя сказать о квантовомеханических частицах, поскольку этот процесс невозможен из-за фундаментальных принципов неопределенности, действующих в малых масштабах. Таким образом, требование неразличимости квантовых частиц формулируется постулатом симметризации. Этот постулат применим к системе бозонов или фермионов, например, при предсказании спектра атома гелия. Постулат, который будет подробно рассмотрен в следующих разделах, можно сформулировать следующим образом:

Исключения могут возникать, когда частицы ограничены двумя пространственными измерениями, где возможно существование частиц, известных как анионы, которые обладают непрерывным спектром статистических свойств, лежащим между свойствами фермионов и бозонов. Связь между поведением идентичных частиц и их спином устанавливается теоремой о спин-статистике. Можно показать, что две частицы, локализованные в разных областях пространства, все еще могут быть описаны симметризованной или антисимметризованной волновой функцией, и что независимая обработка этих волновых функций дает тот же результат. Следовательно, постулат симметризации применим в общем случае для системы идентичных частиц.

Исключения из постулата симметризации

В нерелятивистской квантовой механике все частицы являются либо бозонами, либо фермионами; в релятивистских квантовых теориях также существуют "суперсимметричные" теории, где частица представляет собой линейную комбинацию бозонной и фермионной составляющих. Только в одномерном пространстве (d = 2) можно построить объекты, в которых (−1)^(2S) заменяется произвольным комплексным числом с модулем 1, называемым анионами. В релятивистской квантовой механике спин-статистическая теорема доказывает, что при определенных предположениях частицы с целым спином классифицируются как бозоны, а частицы с полуцелым спином – как фермионы. Анионы, которые не формируют ни симметричных, ни антисимметричных состояний, обладают дробным спином. Хотя спин и принцип Паули могут быть выведены только из релятивистских обобщений квантовой механики, свойства, упомянутые в последних двух абзацах, относятся к фундаментальным постулатам уже в нерелятивистском пределе. В частности, многие важные свойства в естествознании, например, периодическая система элементов, являются следствием этих двух свойств.

Представительства

Первоначальная форма уравнения Шрёдингера зависит от выбора конкретного представления канонических коммутационных соотношений Гейзенберга. Теорема Стоуна — фон Неймана утверждает, что все неприводимые представления конечномерных коммутационных соотношений Гейзенберга унитарно эквивалентны. Систематическое понимание её следствий привело к фазовому представлению квантовой механики, которое оперирует в полном фазовом пространстве вместо гильбертова пространства, обеспечивая тем самым более интуитивную связь с классическим пределом. Эта картина также упрощает вопросы квантования, как деформационное расширение перехода от классической к квантовой механике. Квантовый гармонический осциллятор — это точно решаемая система, в которой различные представления легко сопоставимы. В ней, помимо представлений Гейзенберга, Шрёдингера (координатного или импульсного) или фазового пространства, встречаются также представление Фока (числовое) и представление Сегала — Баргманна (пространство Фока или когерентных состояний), названное в честь Ирвинга Сегала и Валентина Баргманна. Все четыре представления унитарно эквивалентны.

Время в качестве оператора

До сих пор представленная структура выделяет время как параметр, от которого зависит всё. Возможно сформулировать механику таким образом, чтобы время само стало наблюдаемой, связанной с самосопряжённым оператором. На классическом уровне можно произвольно параметризовать траектории частиц в терминах нефизического параметра s, и в этом случае время t становится дополнительной обобщённой координатой физической системы. На квантовом уровне, сдвиги по s будут генерироваться "гамильтонианом" H − E, где E — оператор энергии, а H — "обычный" гамильтониан. Однако, поскольку s — нефизический параметр, физические состояния должны быть инвариантны относительно "эволюции по s", и, следовательно, пространство физических состояний является ядром оператора H − E (для этого требуется использование риггированного пространства Гильберта и перенормировка нормы). Это связано с квантованием систем с ограничениями и квантованием калибровочных теорий. Также возможно сформулировать квантовую теорию "событий", в которой время становится наблюдаемой.