Волновая функция в квантовой механике

Введение

Математическое описание квантового состояния системы

В квантовой физике волновая функция (или волновое уравнение) — это математическое описание квантового состояния изолированной квантовой системы. Наиболее распространенными символами для волновой функции являются греческие буквы ψ и Ψ (строчная и прописная пси, соответственно). Волновые функции являются комплекснозначными. Например, волновая функция может сопоставлять комплексное число каждой точке в области пространства. Правило Борна предоставляет способ преобразования этих комплексных амплитуд вероятности в действительные вероятности. В одной из распространенных формулировок говорится, что квадрат модуля волновой функции, зависящей от положения, является плотностью вероятности обнаружения частицы в данной точке. Интеграл квадрата модуля волновой функции по всем степеням свободы системы должен быть равен 1, условие, называемое нормировкой. Поскольку волновая функция комплекснозначна, можно измерить только ее относительную фазу и относительную величину; ее значение само по себе не дает информации о величинах или направлениях измеримых наблюдаемых. Необходимо применять квантовые операторы, собственные значения которых соответствуют множествам возможных результатов измерений, к волновой функции ψ и вычислять статистические распределения для измеримых величин. Волновые функции могут быть функциями переменных, отличных от положения, таких как импульс. Информация, представленная волновой функцией, зависящей от положения, может быть преобразована в волновую функцию, зависящую от импульса, и наоборот, с помощью преобразования Фурье. Некоторые частицы, такие как электроны и фотоны, имеют ненулевой спин, и волновая функция для таких частиц включает спин как внутреннюю, дискретную степень свободы; также могут быть включены другие дискретные переменные, такие как изоспин. Когда система имеет внутренние степени свободы, волновая функция в каждой точке непрерывных степеней свободы (например, точка в пространстве) сопоставляет комплексное число для каждого возможного значения дискретных степеней свободы (например, z-компонента спина). Эти значения часто представляются в виде столбцовой матрицы (например, столбца-вектора 2 × 1 для нерелятивистского электрона со спином). Согласно принципу суперпозиции квантовой механики, волновые функции можно складывать и умножать на комплексные числа для получения новых волновых функций и формирования гильбертова пространства. Скалярное произведение между двумя волновыми функциями является мерой перекрытия между соответствующими физическими состояниями и используется в фундаментальной вероятностной интерпретации квантовой механики, правиле Борна, связывающем вероятности переходов со скалярными произведениями. Уравнение Шрёдингера определяет, как волновые функции изменяются во времени, и волновая функция качественно ведет себя как другие волны, такие как водные волны или волны на струне, поскольку уравнение Шрёдингера математически является типом волнового уравнения. Это объясняет название «волновая функция» и приводит к волново-частичному дуализму. Однако волновая функция в квантовой механике описывает своего рода физическое явление, которое по состоянию на 2023 год все еще открыто для различных интерпретаций и принципиально отличается от классических механических волн.

In quantum physics, a wave function (or wavefunction) is a mathematical description of the quantum state of an isolated quantum system. The most common symbols for a wave function are the Greek letters ψ and Ψ (lower case and capital psi, respectively). Wave functions are complex valued. For example, a wave function might assign a complex number to each point in a region of space. The Born rule provides the means to turn these complex probability amplitudes into actual probabilities. In one common form, it says that the squared modulus of a wave function that depends upon position is the probability density of measuring a particle as being at a given place. The integral of a wavefunction's squared modulus over all the system's degrees of freedom must be equal to 1, a condition called normalization. Since the wave function is complex valued, only its relative phase and relative magnitude can be measured; its value does not, in isolation, tell anything about the magnitudes or directions of measurable observables. One has to apply quantum operators, whose eigenvalues correspond to sets of possible results of measurements, to the wave function ψ and calculate the statistical distributions for measurable quantities. Wave functions can be functions of variables other than position, such as momentum. The information represented by a wave function that is dependent upon position can be converted into a wave function dependent upon momentum and vice versa, by means of a Fourier transform. Some particles, like electrons and photons, have nonzero spin, and the wave function for such particles includes spin as an intrinsic, discrete degree of freedom; other discrete variables can also be included, such as isospin. When a system has internal degrees of freedom, the wave function at each point in the continuous degrees of freedom (e. g., a point in space) assigns a complex number for each possible value of the discrete degrees of freedom (e. g., z component of spin). These values are often displayed in a column matrix (e. g., a 2 × 1 column vector for a non relativistic electron with spin ). According to the superposition principle of quantum mechanics, wave functions can be added together and multiplied by complex numbers to form new wave functions and form a Hilbert space. The inner product between two wave functions is a measure of the overlap between the corresponding physical states and is used in the foundational probabilistic interpretation of quantum mechanics, the Born rule, relating transition probabilities to inner products. The Schrödinger equation determines how wave functions evolve over time, and a wave function behaves qualitatively like other waves, such as water waves or waves on a string, because the Schrödinger equation is mathematically a type of wave equation. This explains the name "wave function", and gives rise to wave–particle duality. However, the wave function in quantum mechanics describes a kind of physical phenomenon, as of 2023 still open to different interpretations, which fundamentally differs from that of classic mechanical waves.

Волновые функции и волновые уравнения в современных теориях

Все эти волновые уравнения имеют непреходящее значение. Уравнение Шредингера и уравнение Паули во многих случаях являются отличными приближениями релятивистских вариантов. Их значительно легче решать в практических задачах, чем релятивистские аналоги. Уравнение Клейна — Гордона и уравнение Дирака, хотя и релятивистские, не представляют собой полного примирения квантовой механики и специальной теории относительности. Отрасль квантовой механики, где эти уравнения изучаются аналогично уравнению Шредингера, часто называемая релятивистской квантовой механикой, несмотря на свою успешность, имеет свои ограничения (см., например, смещение Лэмба) и концептуальные проблемы (см., например, море Дирака). Релятивизм делает неизбежным то, что число частиц в системе не является постоянным. Для полного примирения необходима квантовая теория поля. В этой теории волновые уравнения и волновые функции занимают свое место, но в несколько ином виде. Основными объектами интереса являются не волновые функции, а скорее операторы, так называемые полевые операторы (или просто поля, подразумевая "оператор") на гильбертовом пространстве состояний (описанном в следующем разделе). Оказывается, что исходные релятивистские волновые уравнения и их решения по-прежнему необходимы для построения гильбертова пространства. Более того, операторы свободных полей, то есть при отсутствии взаимодействий, оказываются (формально) удовлетворяющими тому же уравнению, что и поля (волновые функции) во многих случаях. Таким образом, уравнение Клейна — Гордона (спин 0) и уравнение Дирака (спин ½) в этом виде остаются в теории. К аналогам с более высоким спином относятся уравнение Прока (спин 1), уравнение Рарриты — Швингера (спин ¾) и, в более общем виде, уравнения Баргмана — Вингера. Для безмассовых свободных полей двумя примерами являются уравнение Максвелла свободного поля (спин 1) и уравнение Эйнштейна свободного поля (спин 2) для операторов поля. Все они являются по сути прямым следствием требования лоренц-инвариантности. Их решения должны преобразовываться при преобразованиях Лоренца предписанным образом, то есть в соответствии с определенным представлением группы Лоренца, и этого, вместе с несколькими другими разумными требованиями, например, свойством кластерного разложения, с последствиями для принципа причинности, достаточно для однозначного определения уравнений. Это относится к уравнениям свободных полей; взаимодействия не учитываются. Если доступна плотность лагранжиана (включая взаимодействия), то лагранжевый формализм даст уравнение движения на классическом уровне. Это уравнение может быть очень сложным и не поддаваться решению аналитически. Любое решение будет относиться к фиксированному числу частиц и не будет учитывать термин "взаимодействие", как он используется в этих теориях, который включает создание и уничтожение частиц, а не внешние потенциалы, как в обычной "первой квантованной" квантовой теории. В теории струн ситуация остается аналогичной. Например, волновая функция в импульсном пространстве играет роль коэффициента разложения Фурье в общем состоянии частицы (струны) с импульсом, который не является точно определенным.

All these wave equations are of enduring importance. The Schrödinger equation and the Pauli equation are under many circumstances excellent approximations of the relativistic variants. They are considerably easier to solve in practical problems than the relativistic counterparts. The Klein–Gordon equation and the Dirac equation, while being relativistic, do not represent full reconciliation of quantum mechanics and special relativity. The branch of quantum mechanics where these equations are studied the same way as the Schrödinger equation, often called relativistic quantum mechanics, while very successful, has its limitations (see e. g. Lamb shift) and conceptual problems (see e. g. Dirac sea). Relativity makes it inevitable that the number of particles in a system is not constant. For full reconciliation, quantum field theory is needed. In this theory, the wave equations and the wave functions have their place, but in a somewhat different guise. The main objects of interest are not the wave functions, but rather operators, so called field operators (or just fields where "operator" is understood) on the Hilbert space of states (to be described next section). It turns out that the original relativistic wave equations and their solutions are still needed to build the Hilbert space. Moreover, the free fields operators, i. e. when interactions are assumed not to exist, turn out to (formally) satisfy the same equation as do the fields (wave functions) in many cases. Thus the Klein–Gordon equation (spin 0) and the Dirac equation (spin ) in this guise remain in the theory. Higher spin analogues include the Proca equation (spin 1), Rarita–Schwinger equation (spin ), and, more generally, the Bargmann–Wigner equations. For massless free fields two examples are the free field Maxwell equation (spin 1) and the free field Einstein equation (spin 2) for the field operators. All of them are essentially a direct consequence of the requirement of Lorentz invariance. Their solutions must transform under Lorentz transformation in a prescribed way, i. e. under a particular representation of the Lorentz group and that together with few other reasonable demands, e. g. the cluster decomposition property,
with implications for causality is enough to fix the equations. This applies to free field equations; interactions are not included. If a Lagrangian density (including interactions) is available, then the Lagrangian formalism will yield an equation of motion at the classical level. This equation may be very complex and not amenable to solution. Any solution would refer to a fixed number of particles and would not account for the term "interaction" as referred to in these theories, which involves the creation and annihilation of particles and not external potentials as in ordinary "first quantized" quantum theory. In string theory, the situation remains analogous. For instance, a wave function in momentum space has the role of Fourier expansion coefficient in a general state of a particle (string) with momentum that is not sharply defined.

Квантовые состояния как векторы

В определенный момент времени все значения волновой функции Ψ(x, t) являются компонентами вектора. Их бесконечно много, и вместо суммирования используется интегрирование. В нотации Дирака этот вектор записывается и называется "вектором квантового состояния" или просто "квантовым состоянием". Существует несколько преимуществ понимания волновых функций как элементов абстрактного векторного пространства: можно использовать все мощные инструменты линейной алгебры для работы и понимания волновых функций. Например: линейная алгебра объясняет, как векторному пространству можно задать базис, а затем любой вектор в этом пространстве можно выразить в этом базисе. Это объясняет связь между волновой функцией в координатном представлении и волновой функцией в импульсном представлении и предполагает существование других возможностей. Нотация Дирака может быть использована для работы с волновыми функциями. Идея о том, что квантовые состояния являются векторами в абстрактном векторном пространстве, является полностью общей во всех аспектах квантовой механики и квантовой теории поля, в то время как представление о квантовых состояниях как о комплексных "волновых" функциях пространства справедливо лишь в определенных ситуациях. Параметр времени часто опускается, и будет опущен в дальнейшем. Координата x является непрерывным индексом. называются несобственными векторами, которые, в отличие от собственных векторов, нормализуемых к единице, могут быть нормализованы только к дельта-функции Дирака. Кроме того, хотя они линейно независимы, их слишком много (они образуют несчетное множество) для того, чтобы образовать базис физического гильбертова пространства. Тем не менее, их можно использовать для представления всех функций в нем с помощью преобразований Фурье, как описано далее.

Определения (другие случаи)

Ниже приведены общие формы волновой функции для систем в более высоких размерностях и состоящих из большего числа частиц, а также включающие другие степени свободы, помимо координат положения или компонент импульса.

Физическое значение относительной фазы

В то время как относительная фаза имеет наблюдаемые эффекты в экспериментах, глобальная фаза системы экспериментально неразличима. Например, для частицы, находящейся в суперпозиции двух состояний, глобальная фаза частицы не может быть определена путем вычисления ожидаемого значения измеряемой величины или вероятностей наблюдения различных состояний, однако относительные фазы могут влиять на ожидаемые значения измеряемых величин. Хотя общая фаза системы считается произвольной, относительная фаза для каждого состояния приготовленного состояния в суперпозиции может быть определена, исходя из физического смысла приготовленного состояния и его симметрии. Например, создание спиновых состояний вдоль оси x как суперпозиции спиновых состояний вдоль оси z может быть осуществлено путем применения соответствующего преобразования вращения к спину вдоль оси z, что задает соответствующие фазы состояний относительно друг друга.

Временная зависимость

Для систем с потенциалами, не зависящими от времени, волновую функцию всегда можно представить в виде функции от обобщенных координат, умноженной на временной фазовый множитель, вид которого определяется уравнением Шредингера. Для N частиц, рассматривая только их координаты и опуская остальные степени свободы,

где E – собственное значение энергии системы, соответствующее собственному состоянию Ψ. Волновые функции такого вида называются стационарными состояниями. Временную зависимость квантового состояния и операторов можно перенести посредством унитарных преобразований на операторы и состояния. Для любого квантового состояния и оператора O в картине Шредингера состояние изменяется со временем согласно уравнению Шредингера, а O остается постоянным. В картине Гейзенберга все наоборот: состояние остается постоянным, а O(t) эволюционирует во времени согласно уравнению движения Гейзенберга. Картина Дирака (или картина взаимодействия) является промежуточной, временная зависимость распределена между операторами и состояниями, которые эволюционируют согласно уравнениям движения. Она особенно полезна при вычислении элементов S-матрицы.

Нерелятивистские примеры

Ниже приведены решения уравнения Шрёдингера для одной нерелятивистской безспиновой частицы.

Волновые функции и функциональные пространства

Понятие функциональных пространств естественно возникает при обсуждении волновых функций. Функциональное пространство – это множество функций, обычно с определенными требованиями к этим функциям (в данном случае, чтобы они были квадратично интегрируемыми), иногда с алгебраической структурой на множестве (в данном случае, структурой векторного пространства с внутренним произведением) и, вместе с тем, с топологией на множестве. Последнее будет редко использоваться здесь, оно необходимо лишь для точного определения понятия замкнутости подмножества функционального пространства. Ниже будет показано, что функциональное пространство волновых функций является пространством Гильберта. Это наблюдение лежит в основе господствующей математической формулировки квантовой механики.

Структура векторного пространства

Волновая функция — элемент функционального пространства, частично характеризуемый следующими конкретными и абстрактными описаниями. Уравнение Шрёдингера линейно. Это означает, что решения этого уравнения, волновые функции, можно складывать и умножать на скаляры, получая новое решение. Множество решений уравнения Шрёдингера образует векторное пространство. Принцип суперпозиции в квантовой механике. Если Ψ и Φ — два состояния в абстрактном пространстве состояний квантовомеханической системы, а a и b — любые два комплексных числа, то aΨ + bΦ также является допустимым состоянием. (Вопрос о том, считать ли нулевой вектор допустимым состоянием – соответствующим отсутствию системы – является вопросом определения. В любом случае, нулевой вектор не описывает вакуумное состояние в квантовой теории поля.) Множество допустимых состояний представляет собой векторное пространство. Это сходство, разумеется, не случайно. Однако следует помнить и об отличиях между этими пространствами.

Представительства

Основные состояния характеризуются набором квантовых чисел. Это множество собственных значений максимального множества коммутирующих наблюдаемых. Физические наблюдаемые представлены линейными операторами, также называемыми наблюдаемыми, на векторном пространстве. Максимальность означает, что к этому множеству нельзя добавить никаких дополнительных алгебраически независимых наблюдаемых, коммутирующих с уже присутствующими. Выбор такого множества можно назвать выбором представления. Постулат квантовой механики гласит, что физически наблюдаемая величина системы, такая как положение, импульс или спин, представлена линейным эрмитовым оператором в пространстве состояний. Возможные результаты измерения этой величины являются собственными значениями оператора. На более глубоком уровне большинство наблюдаемых, возможно, все, возникают как генераторы симметрий. Физическая интерпретация заключается в том, что такое множество представляет то, что – в теории – можно одновременно измерять с произвольной точностью. Соотношение неопределенностей Гейзенберга запрещает одновременные точные измерения двух некоммутирующих наблюдаемых. Это множество не является единственным. Для одночастичной системы, например, это может быть положение и проекция спина на ось z, (x, Sz), или импульс и проекция спина на ось y, (p, Sy). В этом случае оператор, соответствующий положению (оператор умножения в представлении положения), и оператор, соответствующий импульсу (дифференциальный оператор в представлении положения), не коммутируют. После выбора представления сохраняется некоторая произвольность: необходимо выбрать систему координат. Это может, например, соответствовать выбору осей x, y и z, или выбору криволинейных координат, как это иллюстрируется сферическими координатами, используемыми для атомных волновых функций водорода. Этот последний выбор также фиксирует базис в абстрактном гильбертовом пространстве. Основные состояния обозначаются квантовыми числами, соответствующими максимальному множеству коммутирующих наблюдаемых и выбранной системе координат. Абстрактные состояния являются "абстрактными" лишь в том смысле, что произвольный выбор, необходимый для конкретного явного описания состояния, не задан. Это эквивалентно утверждению, что выбор максимального множества коммутирующих наблюдаемых не был сделан. Это аналогично векторному пространству без заданного базиса. Волновые функции, соответствующие состоянию, соответственно, не являются однозначными. Эта неоднозначность отражает неоднозначность в выборе максимального множества коммутирующих наблюдаемых. Для частицы с одним спином в одном измерении конкретному состоянию соответствуют две волновые функции, Ψ(x, Sz) и Ψ(p, Sy), обе описывающие одно и то же состояние. Для каждого выбора максимального множества коммутирующих наблюдаемых для абстрактного пространства состояний существует соответствующее представление, связанное с функциональным пространством волновых функций. Между всеми этими различными функциональными пространствами и абстрактным пространством состояний существует взаимно однозначное соответствие (здесь не учитываются нормировка и необнаружимые фазовые множители), общим знаменателем которого является конкретное абстрактное состояние. Например, связь между волновыми функциями в пространстве импульсов и пространстве положений, описывающими одно и то же состояние, является преобразованием Фурье. Каждый выбор представления следует рассматривать как определяющий уникальное функциональное пространство, в котором живут волновые функции, соответствующие этому выбору представления. Это различие следует сохранять, даже если можно утверждать, что два таких функциональных пространства математически равны, например, являясь множеством квадратично интегрируемых функций. Тогда можно рассматривать функциональные пространства как две различные копии этого множества.

Basic states are characterized by a set of quantum numbers. This is a set of eigenvalues of a maximal set of commuting observables. Physical observables are represented by linear operators, also called observables, on the vectors space. Maximality means that there can be added to the set no further algebraically independent observables that commute with the ones already present. A choice of such a set may be called a choice of representation. It is a postulate of quantum mechanics that a physically observable quantity of a system, such as position, momentum, or spin, is represented by a linear Hermitian operator on the state space. The possible outcomes of measurement of the quantity are the eigenvalues of the operator. At a deeper level, most observables, perhaps all, arise as generators of symmetries. The physical interpretation is that such a set represents what can – in theory – simultaneously be measured with arbitrary precision. The Heisenberg uncertainty relation prohibits simultaneous exact measurements of two non commuting observables. The set is non unique. It may for a one particle system, for example, be position and spin z projection, (x, Sz), or it may be momentum and spin y projection, (p, Sy). In this case, the operator corresponding to position (a multiplication operator in the position representation) and the operator corresponding to momentum (a differential operator in the position representation) do not commute. Once a representation is chosen, there is still arbitrariness. It remains to choose a coordinate system. This may, for example, correspond to a choice of x, y and z axis, or a choice of curvilinear coordinates as exemplified by the spherical coordinates used for the Hydrogen atomic wave functions. This final choice also fixes a basis in abstract Hilbert space. The basic states are labeled by the quantum numbers corresponding to the maximal set of commuting observables and an appropriate coordinate system. The abstract states are "abstract" only in that an arbitrary choice necessary for a particular explicit description of it is not given. This is the same as saying that no choice of maximal set of commuting observables has been given. This is analogous to a vector space without a specified basis. Wave functions corresponding to a state are accordingly not unique. This non uniqueness reflects the non uniqueness in the choice of a maximal set of commuting observables. For one spin particle in one dimension, to a particular state there corresponds two wave functions, Ψ(x, Sz) and Ψ(p, Sy), both describing the same state. For each choice of maximal commuting sets of observables for the abstract state space, there is a corresponding representation that is associated to a function space of wave functions. Between all these different function spaces and the abstract state space, there are one to one correspondences (here disregarding normalization and unobservable phase factors), the common denominator here being a particular abstract state. The relationship between the momentum and position space wave functions, for instance, describing the same state is the Fourier transform. Each choice of representation should be thought of as specifying a unique function space in which wave functions corresponding to that choice of representation lives. This distinction is best kept, even if one could argue that two such function spaces are mathematically equal, e. g. being the set of square integrable functions. One can then think of the function spaces as two distinct copies of that set.

Внутренний продукт

Существует дополнительная алгебраическая структура на векторных пространствах волновых функций и абстрактном пространстве состояний. Физически различные волновые функции интерпретируются как перекрывающиеся в некоторой степени. Система в состоянии Ψ, которая не перекрывается с состоянием Φ, не может быть обнаружена в состоянии Φ при измерении. Но если Φ1, Φ2 перекрываются с Ψ в некоторой степени, есть вероятность, что измерение системы, описанной Ψ, даст состояния Φ1, Φ2. Также применимы правила отбора, которые обычно формулируются в терминах сохранения определенных квантовых чисел. Это означает, что некоторые процессы, допустимые с определенных точек зрения (например, с точки зрения сохранения энергии и импульса), не происходят, поскольку начальная и конечная общие волновые функции не перекрываются. Математически оказывается, что решения уравнения Шредингера для конкретных потенциалов ортогональны в некотором смысле, что обычно описывается интегралом, где m и n – (наборы) индексов (квантовых чисел), обозначающих различные решения, строго положительная функция w называется весовой функцией, а δmn – дельта Кронекера. Интегрирование производится по всему соответствующему пространству. Это мотивирует введение внутреннего произведения на векторном пространстве абстрактных квантовых состояний, согласующегося с вышеупомянутыми математическими наблюдениями при переходе к представлению. Оно обозначается (Ψ, Φ) или, в нотации Дирака, <Ψ|Φ>. Оно дает комплексное число. С внутренним произведением пространство функций становится пространством с внутренним произведением. Явный вид внутреннего произведения (обычно интеграл или сумма интегралов) зависит от выбора представления, но комплексное число (Ψ, Φ) – нет. Большая часть физической интерпретации квантовой механики основана на правиле Борна. Оно утверждает, что вероятность p обнаружения состояния Φ при измерении, если система находится в состоянии Ψ, равна

где предполагается, что Φ и Ψ нормированы. Рассмотрим эксперимент по рассеянию. В квантовой теории поля, если Φout описывает состояние в "далеком будущем" ("исходящее состояние") после прекращения взаимодействий между рассеивающимися частицами, а Ψin – "входящее состояние" в "далеком прошлом", то величины (Φout, Ψin), при варьировании Φout по полному набору исходящих состояний, а Ψin – по полному набору входящих состояний, называются S-матрицей или матрицей рассеяния. Знание S-матрицы, по сути, означает решение рассматриваемой теории, по крайней мере, в отношении предсказаний. Измеримые величины, такие как скорости распада и сечения рассеяния, могут быть вычислены из S-матрицы.

Гильбертово пространство

Вышеуказанные наблюдения отражают суть функциональных пространств, элементами которых являются волновые функции. Однако описание еще не завершено. Существует дополнительное техническое требование к функциональному пространству – полнота, позволяющая брать пределы последовательностей в этом пространстве и быть уверенным, что если предел существует, то он является элементом этого пространства. Полное пространство с внутренним произведением называется пространством Гильберта. Свойство полноты играет решающую роль в углубленном изучении и применении квантовой механики. Например, существование операторов проекции или ортогональных проекций зависит от полноты пространства. Эти операторы проекции, в свою очередь, необходимы для формулировки и доказательства многих полезных теорем, например, спектральной теоремы. Это не имеет большого значения в вводном курсе квантовой механики, а технические детали и ссылки можно найти в сносках, как в следующей. Пространство L^(2) является пространством Гильберта, внутреннее произведение в котором будет представлено позже. Функциональное пространство, приведенное в примере на рисунке, является подпространством L^(2). Подпространство пространства Гильберта является пространством Гильберта, если оно замкнуто. В итоге, множество всех возможных нормализуемых волновых функций для системы при определенном выборе базиса, вместе с нулевым вектором, образует пространство Гильберта. Не все интересующие нас функции являются элементами какого-либо пространства Гильберта, например, L^(2). Наиболее ярким примером является множество функций. Это плоские волновые решения уравнения Шредингера для свободной частицы, но они не нормализуемы и, следовательно, не принадлежат L^(2). Тем не менее, они фундаментальны для описания. Используя их, можно выразить нормализуемые функции с помощью волновых пакетов. Они, в определенном смысле, являются базисом (но не базисом Гильберта и не базисом Гамеля), в котором можно выразить интересующие волновые функции. Существует также прием "нормализация на дельта-функцию", который часто используется для удобства записи, см. ниже. Сами дельта-функции также не являются квадратично интегрируемыми. Описанное выше функциональное пространство, содержащее волновые функции, в основном мотивировано математическими соображениями. Функциональные пространства, благодаря полноте, в определенном смысле очень велики. Не все функции являются реалистичным описанием какой-либо физической системы. Например, в функциональном пространстве L^(2) можно найти функцию, принимающую значение 0 для всех рациональных чисел и i для иррациональных чисел в интервале [0, 1]. Эта функция квадратично интегрируема, но вряд ли может представлять физическое состояние.

The above observations encapsulate the essence of the function spaces of which wave functions are elements. However, the description is not yet complete. There is a further technical requirement on the function space, that of completeness, that allows one to take limits of sequences in the function space, and be ensured that, if the limit exists, it is an element of the function space. A complete inner product space is called a Hilbert space. The property of completeness is crucial in advanced treatments and applications of quantum mechanics. For instance, the existence of projection operators or orthogonal projections relies on the completeness of the space. These projection operators, in turn, are essential for the statement and proof of many useful theorems, e. g. the spectral theorem. It is not very important in introductory quantum mechanics, and technical details and links may be found in footnotes like the one that follows. The space L^(2) is a Hilbert space, with inner product presented later. The function space of the example of the figure is a subspace of L^(2). A subspace of a Hilbert space is a Hilbert space if it is closed. In summary, the set of all possible normalizable wave functions for a system with a particular choice of basis, together with the null vector, constitute a Hilbert space. Not all functions of interest are elements of some Hilbert space, say L^(2). The most glaring example is the set of functions These are plane wave solutions of the Schrödinger equation for a free particle, but are not normalizable, hence not in L^(2). But they are nonetheless fundamental for the description. One can, using them, express functions that are normalizable using wave packets. They are, in a sense, a basis (but not a Hilbert space basis, nor a Hamel basis) in which wave functions of interest can be expressed. There is also the artifact "normalization to a delta function" that is frequently employed for notational convenience, see further down. The delta functions themselves are not square integrable either. The above description of the function space containing the wave functions is mostly mathematically motivated. The function spaces are, due to completeness, very large in a certain sense. Not all functions are realistic descriptions of any physical system. For instance, in the function space L^(2) one can find the function that takes on the value 0 for all rational numbers and i for the irrationals in the interval [0, 1]. This is square integrable,
but can hardly represent a physical state.

Общие пространства Гильберта

В то время как пространство решений в целом является пространством Гильберта, существует множество других пространств Гильберта, которые часто встречаются в качестве составных частей. Квадратично интегрируемые комплекснозначные функции на интервале. Множество {e^(int)/2π, n ∈ 'Z'} является базисом пространства Гильберта, то есть максимальным ортонормированным множеством. Преобразование Фурье отображает функции из указанного пространства в элементы l^(2)('Z'), пространство квадратично суммируемых функций 'Z' → 'C'. Последнее пространство является пространством Гильберта, а преобразование Фурье – изоморфизмом пространств Гильберта. Его базис – {ei, i ∈ 'Z'} с 1=ei(j) = δij, i, j ∈ 'Z'. Наиболее простой пример порождающих полиномов находится в пространстве квадратично интегрируемых функций на интервале, для которого полиномы Лежандра образуют базис пространства Гильберта (полный ортонормированный набор). Квадратично интегрируемые функции на единичной сфере S^(2) образуют пространство Гильберта. В этом случае базисными функциями являются сферические гармоники. Полиномы Лежандра являются составными частями сферических гармоник. Большинство задач с осевой симметрией имеют "то же" (известное) решение относительно этой симметрии, поэтому исходная задача сводится к задаче меньшей размерности. Полиномы Лагера возникают в задаче о волновой функции водорода после выделения сферических гармоник. Они порождают пространство Гильберта квадратично интегрируемых функций на полубесконечном интервале. В более общем случае можно рассматривать унифицированный подход ко всем полиномиальным решениям второго порядка уравнений Штурма-Лиувилля в рамках пространства Гильберта. К ним относятся полиномы Лежандра и Лагера, а также полиномы Чебышева, Якоби и Эрмита. Все они фактически встречаются в физических задачах, последние – в задаче о гармоническом осцилляторе, и то, что в противном случае является запутанным лабиринтом свойств специальных функций, превращается в упорядоченную совокупность фактов. См. Также встречаются конечномерные пространства Гильберта. Пространство 'C'^(n) является пространством Гильберта размерности n. Внутреннее произведение является стандартным внутренним произведением в этих пространствах. В нем содержится "спиновая часть" волновой функции одной частицы. В нерелятивистском описании электрона 1=n = 2, и полная волновая функция является решением уравнения Паули. В соответствующем релятивистском рассмотрении 1=n = 4, и волновая функция удовлетворяет уравнению Дирака. При большем числе частиц ситуация усложняется. Необходимо использовать тензорные произведения и теорию представлений вовлеченных групп симметрии (группы вращения и группы Лоренца соответственно), чтобы извлечь из тензорного произведения пространства, в которых находятся (общие) спиновые волновые функции. (Дополнительные проблемы возникают в релятивистском случае, если частицы не являются свободными. См. уравнение Бете-Сальпетера.) Аналогичные замечания применимы к понятию изоспина, для которого группой симметрии является SU(2). Модели ядерных сил шестидесятых годов (по-прежнему полезные сегодня, см. ядерные силы) использовали группу симметрии SU(3). В этом случае часть волновых функций, соответствующая внутренним симметриям, также находится в некотором 'C'^(n) или подпространствах тензорных произведений таких пространств. В квантовой теории поля базовым пространством Гильберта является пространство Фока. Оно строится из состояний свободных одночастичных частиц, то есть волновых функций при выборе представления, и может вмещать любое конечное, не обязательно постоянное во времени, число частиц. Интересная (или, скорее, разрешимая) динамика заключается не в волновых функциях, а в полевых операторах, которые являются операторами, действующими на пространство Фока. Таким образом, картина Гейзенберга является наиболее распространенным выбором (постоянные состояния, операторы, зависящие от времени). В силу бесконечномерной природы системы, соответствующие математические инструменты являются объектом изучения в функциональном анализе.

While the space of solutions as a whole is a Hilbert space there are many other Hilbert spaces that commonly occur as ingredients. Square integrable complex valued functions on the interval The set {e^(int)/2π, n ∈ 'Z'} is a Hilbert space basis, i. e. a maximal orthonormal set. The Fourier transform takes functions in the above space to elements of l^(2)('Z'), the space of square summable functions 'Z' → 'C'. The latter space is a Hilbert space and the Fourier transform is an isomorphism of Hilbert spaces. Its basis is {ei, i ∈ 'Z'} with 1=ei(j) = δij, i, j ∈ 'Z'. The most basic example of spanning polynomials is in the space of square integrable functions on the interval for which the Legendre polynomials is a Hilbert space basis (complete orthonormal set). The square integrable functions on the unit sphere S^(2) is a Hilbert space. The basis functions in this case are the spherical harmonics. The Legendre polynomials are ingredients in the spherical harmonics. Most problems with rotational symmetry will have "the same" (known) solution with respect to that symmetry, so the original problem is reduced to a problem of lower dimensionality. The associated Laguerre polynomials appear in the hydrogenic wave function problem after factoring out the spherical harmonics. These span the Hilbert space of square integrable functions on the semi infinite interval
More generally, one may consider a unified treatment of all second order polynomial solutions to the Sturm–Liouville equations in the setting of Hilbert space. These include the Legendre and Laguerre polynomials as well as Chebyshev polynomials, Jacobi polynomials and Hermite polynomials. All of these actually appear in physical problems, the latter ones in the harmonic oscillator, and what is otherwise a bewildering maze of properties of special functions becomes an organized body of facts. For this, see
There occurs also finite dimensional Hilbert spaces. The space 'C'^(n) is a Hilbert space of dimension n. The inner product is the standard inner product on these spaces. In it, the "spin part" of a single particle wave function resides. In the non relativistic description of an electron one has 1=n = 2 and the total wave function is a solution of the Pauli equation. In the corresponding relativistic treatment, 1=n = 4 and the wave function solves the Dirac equation. With more particles, the situations is more complicated. One has to employ tensor products and use representation theory of the symmetry groups involved (the rotation group and the Lorentz group respectively) to extract from the tensor product the spaces in which the (total) spin wave functions reside. (Further problems arise in the relativistic case unless the particles are free. See the Bethe–Salpeter equation.) Corresponding remarks apply to the concept of isospin, for which the symmetry group is SU(2). The models of the nuclear forces of the sixties (still useful today, see nuclear force) used the symmetry group SU(3). In this case, as well, the part of the wave functions corresponding to the inner symmetries reside in some 'C'^(n) or subspaces of tensor products of such spaces. In quantum field theory the underlying Hilbert space is Fock space. It is built from free single particle states, i. e. wave functions when a representation is chosen, and can accommodate any finite, not necessarily constant in time, number of particles. The interesting (or rather the tractable) dynamics lies not in the wave functions but in the field operators that are operators acting on Fock space. Thus the Heisenberg picture is the most common choice (constant states, time varying operators). Due to the infinite dimensional nature of the system, the appropriate mathematical tools are objects of study in functional analysis.

Упрощенное описание

Не все вводные учебники идут сложным путем и вводят полный аппарат гильбертовых пространств, но основное внимание уделяется нерелятивистскому уравнению Шрёдингера в координатном представлении для определенных стандартных потенциалов. Для того чтобы вычисления и физическая интерпретация имели смысл, иногда явно формулируются следующие ограничения на волновую функцию:

Волновая функция должна быть квадратично интегрируемой. Это обусловлено копенгагенской интерпретацией волновой функции как амплитуды вероятности. Она должна быть непрерывной и всюду непрерывно дифференцируемой. Это обусловлено видом уравнения Шрёдингера для большинства физически обоснованных потенциалов. В особых случаях эти условия можно несколько ослабить. Если эти требования не выполняются, волновую функцию нельзя интерпретировать как амплитуду вероятности. Следует отметить, что могут возникать исключения из правила непрерывности производных в точках бесконечного разрыва потенциального поля. Например, для частицы в ящике производная волновой функции может быть разрывной на границе ящика, где потенциал имеет бесконечный разрыв. Это не меняет структуру гильбертова пространства, в котором находятся эти конкретные волновые функции, но подпространство квадратично интегрируемых функций L² – являющееся гильбертовым пространством и удовлетворяющее второму требованию – не является замкнутым в L², и, следовательно, само по себе не является гильбертовым пространством. Функции, не удовлетворяющие этим требованиям, все равно необходимы по техническим и практическим соображениям.

Онтология

Существует ли волновая функция на самом деле и что она представляет собой – ключевые вопросы в интерпретации квантовой механики. Многие известные физики предыдущего поколения размышляли над этой проблемой, такие как Шрёдингер, Эйнштейн и Бор. Некоторые поддерживают формулировки или варианты копенгагенской интерпретации (например, Бор, Вигнер и фон Нейман), в то время как другие, такие как Уилер или Джейнс, придерживаются более классического подхода и рассматривают волновую функцию как представление информации в сознании наблюдателя, то есть как меру наших знаний о реальности. Другие, включая Шрёдингера, Бома и Эверетта, утверждали, что волновая функция должна обладать объективным, физическим существованием. Эйнштейн полагал, что полное описание физической реальности должно напрямую относиться к физическому пространству и времени, в отличие от волновой функции, которая относится к абстрактному математическому пространству.