Введение

Категория
В математике, в частности в теории категорий, преабелева категория — это аддитивная категория, обладающая всеми ядрами и коядрами. Более подробно это означает, что категория C является преабелевой, если:

C является преаддитивной, то есть обогащена над моноидальной категорией абелевых групп (эквивалентно, все гомо-множества в C являются абелевыми группами и композиция морфизмов билинейна);
C имеет все конечные произведения (эквивалентно, все конечные копроизведения); следует отметить, что поскольку C также является преаддитивной, конечные произведения совпадают с конечными копроизведениями, что делает их бипроизведениями;
для любого морфизма f: A → B в C существует уравнитель морфизма f и нулевой морфизм из A в B (это по определению ядро f), а также коуравнитель (это по определению коядро f). Следует отметить, что нулевой морфизм в пункте 3 можно отождествить с нейтральным элементом гомо-множества Hom(A, B), которое является абелевой группой согласно пункту 1; или как единственный морфизм A → 0 → B, где 0 — нулевой объект, существование которого гарантируется пунктом 2.

Точные функторы

Напомним, что все конечные пределы и колимиты существуют в преабелевой категории. В общей теории категорий функтор называется левым точным, если он сохраняет все конечные пределы, а правым точным, если он сохраняет все конечные колимиты. (Функтор называется просто точным, если он одновременно левый и правый точный.) В преабелевой категории точные функторы могут быть описаны особенно простым образом. Во-первых, вспомним, что аддитивный функтор – это функтор F: C → D между преаддитивными категориями, действующий как гомоморфизм групп на каждом множестве гомоморфизмов. Тогда оказывается, что функтор между преабелевыми категориями является левым точным тогда и только тогда, когда он аддитивен и сохраняет все ядра, а правым точным – тогда и только тогда, когда он аддитивен и сохраняет все коядра. Обратите внимание, что точный функтор, поскольку он сохраняет как ядра, так и коядра, сохраняет все образы и кообразы. Точные функторы наиболее полезны при изучении абелевых категорий, где их можно применять к точным последовательностям.

Максимальная точная структура

На каждой доабелевой категории существует точная структура, которая является максимальной в том смысле, что она содержит каждую другую точную структуру. Эта точная структура состоит ровно из тех пар ядро-коядро, где ядро является полустабильным, а коядро – полустабильным. Ядро называется полустабильным, если оно является ядром и для каждого морфизма в диаграмме выталкивания морфизм является снова ядром. Коядро называется полустабильным, если оно является коядром и для каждого морфизма в диаграмме оттягивания морфизм является снова коядром. Доабелева категория является квазиабелевой тогда и только тогда, когда все пары ядро-коядро образуют точную структуру. Примером, для которого это не выполняется, является категория (хаусдорфовых) борелевских пространств. Результат также справедлив для аддитивных категорий, которые не являются доабелевыми, но карубийскими.

Особые случаи

Абелева категория — это преабелева категория, в которой каждый мономорфизм и эпиморфизм нормален. Квазиабелева категория — это преабелева категория, в которой ядра устойчивы относительно прямых сумм, а коядра устойчивы относительно обратных сумм. Полуабелева категория — это преабелева категория, в которой для каждого морфизма индуцированный морфизм всегда является мономорфизмом и эпиморфизмом. Наиболее часто изучаемые преабелевы категории на самом деле являются абелевыми категориями; например, Ab — это абелева категория. Преабелевы категории, которые не являются абелевыми, встречаются, например, в функциональном анализе.