Введение

В математике герб (/dʒ/ɜr/b/; ʒɛʁb) — это конструкция в гомологической алгебре и топологии. Гербы были введены Жаном Жиро, основываясь на идеях Александра Гротендика, как инструмент для некомутативной кохомологии второй степени. Их можно рассматривать как аналог расслоений, где волокно является классифицирующим стеком группы. Гербы предоставляют удобный, хотя и весьма абстрактный, язык для работы с различными вопросами деформаций, особенно в современной алгебраической геометрии. Кроме того, частные случаи гербов стали использоваться в последнее время в дифференциальной топологии и дифференциальной геометрии для получения альтернативных описаний определенных классов кохомологии и дополнительных структур, связанных с ними. Слово "gerbe" — французское (и архаичное английское) слово, которое буквально означает сноп пшеницы.

Гербы на топологическом пространстве

Герб на топологическом пространстве — это стек группоидов над этим пространством, который локально непуст (для каждой точки существует открытая окрестность, над которой категория сечений герба непуста) и транзитивен (для любых двух объектов и любого открытого множества существует открытое покрытие , такое что ограничения и на каждом связаны хотя бы одним морфизмом). Каноническим примером является герб главных расслоений с фиксированной структурной группой: категория сечений над открытым множеством — это категория главных расслоений на этом множестве, где морфизмами являются изоморфизмы (следовательно, категория является группоидом). Поскольку главные расслоения склеиваются (удовлетворяют условию спуска), эти группоиды образуют стек. Тривиальное расслоение показывает, что условие локальной непустоты выполнено, и, наконец, поскольку главные расслоения локально тривиальны, они становятся изоморфными при ограничении на достаточно малые открытые множества; таким образом, условие транзитивности также выполнено.

Мотивация для гербов на участке

Одной из основных мотиваций для рассмотрения герб является рассмотрение следующего наивного вопроса: если группа когомологий Чеха для подходящего покрытия пространства дает классы изоморфизма главных расслоений над , то что представляет собой итерированный функтор когомологий? Иными словами, мы "склеиваем" группы посредством некоторого одного коцикла. Гербы — это технический ответ на этот вопрос: они дают геометрические представления элементов в группе высших когомологий. Предполагается, что эта интуиция должна сохраняться и для высших герб.

Кохомологическая классификация

Одна из основных теорем, касающихся гербсов, – их кохомологическая классификация, когда их группы автоморфизмов заданы фиксированным пучком абелевых групп. Утверждается, что все гербы, представляющие классы торсионной кохомологии в H*, представляются пучком алгебр конечной размерности для фиксированного комплексного векторного пространства. Кроме того, неторсионные классы представляются как бесконечномерные главные расслоения проективной группы унитарных операторов на фиксированном бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве. Следует отметить, что это определение корректно, поскольку все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны пространству квадратично суммируемых последовательностей. Гомотопическая интерпретация гербсов исходит из рассмотрения квадрата гомотопического волокна, аналогично тому, как линейное расслоение возникает из квадрата гомотопического волокна, где , что дает группу классов изоморфизма линейных расслоений на .

C*-алгебры

Существуют естественные примеры гербсов, возникающие при изучении алгебры компактно поддерживаемых комплекснозначных функций на паракомпактном пространстве, стр. 3. Для заданного покрытия существует группоид Чеха, определяемый как с картами источника и цели, заданными включениями, а пространство композируемых стрелок – это просто . Тогда класс кохомологии 2-й степени – это просто отображение . Затем можно сформировать некоммутативную C*-алгебру, связанную с множеством компактно поддерживаемых комплекснозначных функций пространства. Она имеет некоммутативное произведение, заданное где класс кохомологии искажает умножение стандартного алгебраического произведения.

Алгебраическая геометрия

Пусть будет многообразием над алгебраически замкнутым полем, а — алгебраической группой, например. Вспомним, что G-торсор над — это алгебраическое пространство с действием и отображением , такое, что локально на (в этальной или fppf-топологии) является прямым произведением . G-расслоение над M может быть определено аналогичным образом. Это Artin-стек с отображением , таким, что локально на M (в этальной или fppf-топологии) является прямым произведением . Здесь обозначает классифицирующий стек , то есть частное от деления точки тривиальным действием . В этом случае нет необходимости накладывать совместимость со структурой группы, поскольку она уже содержится в определении стека. Основные топологические пространства и совпадают, но в каждом стеке точка снабжена стабилизирующей группой, изоморфной .

Из двухтерминовых комплексов когерентных снопов

Каждый двухчленный комплекс когерентных пучков на схеме имеет канонический пучок группоидов, связанный с ним, где на открытом подмножестве существует двухчленный комплекс модулей, определяющий группоид. Объектами группоида являются элементы, а морфизмы задаются элементами, удовлетворяющими условию . Для того чтобы этот стек являлся гербом, пучок когомологий должен всегда иметь сечение. Это предположение влечет за собой, что построенная выше категория всегда имеет объекты. Отметим, что это можно применить к ситуации комодулей над алгебраидами Хопфа для построения алгебраических моделей гербов над аффинными или проективными стеками (проективность достигается при использовании градуированной алгебраиды Хопфа). Кроме того, двухчленные спектры, полученные стабилизацией производной категории комодулей алгеброидов Хопфа с плоским покрытием, дают дополнительные нестрогие модели гербов.

Модульный набор стабильных пучков на кривой

Рассмотрим гладкую проективную кривую над полем, имеющую род g. Пусть $\mathcal{M}$ будет модульным стеком стабильных векторных расслоений на C ранга r и степени d. Он имеет грубое модульное пространство $\overline{\mathcal{M}}$, которое является квазипроективным многообразием. Обе эти задачи модулей параметризуют одни и те же объекты, но версия со стеком учитывает автоморфизмы векторных расслоений. Для любого стабильного векторного расслоения E группа автоморфизмов Aut(E) состоит только из скалярных умножений, поэтому каждая точка в модульном стеке имеет стабилизатор, изоморфный $\mathbb{G}_m$. Оказывается, что отображение $\pi: \mathcal{M} \to \overline{\mathcal{M}}$ действительно является гербом в вышеуказанном смысле. Это тривиальный герб тогда и только тогда, когда r и d взаимно просты.

Корневые стеки

Другой класс герб можно найти, используя построение корневых стеков. Неформально, -й корень стека линейного расслоения над схемой представляет собой пространство, представляющее -й корень из , и обозначается как pg 52. Он строится как стек, отображающий схему в категорию, объекты которой — линейные расслоения вида , а морфизмы — коммутативные диаграммы, совместимые с изоморфизмами. Этот герб расслоен алгебраической группой корней из единицы, где на покрытии он действует на точку, циклически переставляя множители в . Геометрически, эти стеки формируются как произведение стеков, где вертикальное отображение происходит из последовательности Куммера. Это связано с тем, что является модульным пространством линейных расслоений, поэтому линейное расслоение соответствует объекту категории (рассматриваемому как точка в модульном пространстве).

Корневые стелы с секциями

Существует еще одна связанная конструкция корневых стеков с секциями. Исходя из вышеприведенных данных, пусть задан сечение . Тогда -й корневой стек пары определяется как лакс 2-функтор, отображающий -схему в категорию, объекты которой — линейные расслоения вида , а морфизмы задаются аналогичным образом. Эти стеки могут быть построены очень явно и хорошо изучены для аффинных схем. Фактически, они являются аффинными моделями для корневых стеков с секциями. Для аффинной схемы все линейные расслоения тривиальны, следовательно, любое сечение эквивалентно выбору элемента . Тогда стек задается как стек-частное с . Если , то это дает инфинитезимальное расширение .

История

Гербы впервые появились в контексте алгебраической геометрии. Впоследствии они были развиты в более традиционном геометрическом фреймворке Брылинским. Гербы можно рассматривать как естественный шаг в иерархии математических объектов, предоставляющих геометрические реализации интегральных классов когомологий. Более специализированное понятие герба было введено Мюрреем и называется расслоенными гербами. По сути, это гладкая версия абелевых гербов, относящаяся скорее к иерархии, начинающейся с главных расслоений, чем с пучков. Расслоенные гербы использовались в калибровочной теории, а также в теории струн. Современные исследования других ученых направлены на разработку теории неабелевых расслоенных гербов.