Введение
Отношение длины волны к волновому числу в зависимости от частоты волны. В физических науках и электротехнике дисперсионные соотношения описывают влияние дисперсии на свойства волн в среде. Дисперсионное соотношение связывает длину волны или волновое число волны с ее частотой. Зная дисперсионное соотношение, можно рассчитать частотно-зависимые фазовую и групповую скорости каждой синусоидальной компоненты волны в среде как функцию частоты. Помимо зависящих от геометрии и свойств материала дисперсионных соотношений, всеобъемлющие соотношения Крамерса — Кронига описывают частотную зависимость распространения и затухания волны. Дисперсия может быть вызвана либо геометрическими граничными условиями (волноводы, мелкая вода), либо взаимодействием волн с передающей средой. Элементарные частицы, рассматриваемые как материи волны, имеют нетривиальное дисперсионное соотношение даже при отсутствии геометрических ограничений и других сред. В присутствии дисперсии волна не распространяется с неизменной формой, что приводит к различным фазовым и групповым скоростям, зависящим от частоты.
In the physical sciences and electrical engineering, dispersion relations describe the effect of dispersion on the properties of waves in a medium. A dispersion relation relates the wavelength or wavenumber of a wave to its frequency. Given the dispersion relation, one can calculate the frequency dependent phase velocity and group velocity of each sinusoidal component of a wave in the medium, as a function of frequency. In addition to the geometry dependent and material dependent dispersion relations, the overarching Kramers–Kronig relations describe the frequency dependence of wave propagation and attenuation. Dispersion may be caused either by geometric boundary conditions (waveguides, shallow water) or by interaction of the waves with the transmitting medium. Elementary particles, considered as matter waves, have a nontrivial dispersion relation, even in the absence of geometric constraints and other media. In the presence of dispersion, a wave does not propagate with an unchanging waveform, giving rise to the distinct frequency dependent phase velocity and group velocity.
Плоские волны в вакууме
Плоские волны в вакууме — это простейший случай распространения волн: отсутствуют какие-либо геометрические ограничения и взаимодействие с передающей средой.
Частота против числа волн
Как упоминалось выше, когда в среде акцент делается на преломлении, а не на поглощении – то есть на действительной части показателя преломления – зависимость угловой частоты от волнового числа обычно называют дисперсионным соотношением. Для частиц это означает знание энергии как функции импульса.
Структура электронной полосы
В исследовании твердых тел изучение дисперсионного соотношения электронов имеет первостепенное значение. Периодичность кристаллов означает, что для заданного импульса возможно множество энергетических уровней, и некоторые энергии могут быть недоступны ни при каком импульсе. Совокупность всех возможных энергий и импульсов известна как зонная структура материала. Свойства зонной структуры определяют, является ли материал изолятором, полупроводником или проводником.
Фонон
Фононы по отношению к звуковым волнам в твердом теле – это то же самое, что фотоны по отношению к свету: они являются квантами, переносящими энергию. Дисперсионное соотношение фононов также нетривиально и важно, поскольку напрямую связано с акустическими и тепловыми свойствами материала. В большинстве систем фононы можно классифицировать на два основных типа: фононы, чьи зоны становятся равными нулю в центре зоны Бриллюэна, называются акустическими фононами, так как они соответствуют классическому звуку в пределе длинных волн. Остальные – оптические фононы, поскольку они могут возбуждаться электромагнитным излучением.
Электрооптика
При наличии электронов высокой энергии (например, ) в просвечивающем электронном микроскопе, энергетическая зависимость линий зон Лауэ (HOLZ) высших порядков в дифракционных картинах конвергентного пучка (CBED) позволяет, по сути, непосредственно визуализировать поперечные сечения трехмерной дисперсионной поверхности кристалла. Этот динамический эффект нашел применение в точных измерениях параметров решетки, энергии пучка, и в последнее время – для электронной промышленности: деформации решетки.
История
Исаак Ньютон изучал преломление в призмах, но не осознал зависимость дисперсионного соотношения от материала, отклонив работу другого исследователя, чье измерение дисперсии призмы не совпало с собственными измерениями Ньютона. Дисперсию волн на воде изучал Пьер Симон Лаплас в 1776 году. Универсальность соотношений Крамерса — Кронига (1926–1927) проявилась в последующих работах, посвященных связи дисперсионного соотношения с причинностью в теории рассеяния всех типов волн и частиц.