Введение

Понятие в математике
В математике, в частности в математическом анализе, произведение Коши — это дискретная свёртка двух бесконечных рядов. Оно названо в честь французского математика Огюстена Луи Коши.

Определения

Продукт Коши может применяться к бесконечным рядам или степенным рядам. Применение его к конечным последовательностям или конечным рядам можно рассматривать как частный случай произведения рядов с конечным числом ненулевых коэффициентов (см. дискретную свертку). Вопросы сходимости обсуждаются в следующем разделе.

Произведение Коши двух бесконечных рядов

Пусть и — два бесконечных ряда с комплексными членами. Произведение Коши этих двух бесконечных рядов определяется дискретным свёртыванием следующим образом:

    где     .

Теорема

Для и , предположим, что последовательность суммируема с суммой A, а последовательность суммируема с суммой B. Тогда их произведение Коши суммируемо с суммой AB.

Примеры

Для некоторых, пусть и Тогда по определению и по формуле бинома. Поскольку, формально, и , мы показали, что . Так как предел произведения Коши двух абсолютно сходящихся рядов равен произведению пределов этих рядов, мы доказали формулу для всех . В качестве второго примера, пусть для всех Тогда для всех , следовательно, произведение Коши не сходится.

Обобщения

Все вышеизложенное применимо к последовательностям в ℂ (комплексных числах). Произведение Коши может быть определено для рядов в пространствах 𝔼 (Евклидовых пространствах), где умножение является скалярным произведением. В этом случае, мы имеем результат, что если два ряда сходятся абсолютно, то их произведение Коши сходится абсолютно к скалярному произведению их пределов.

Отношение к свёртыванию функций

Конечную последовательность можно рассматривать как бесконечную последовательность, содержащую лишь конечное число ненулевых элементов, или, иными словами, как функцию с конечной областью определения. Для любых комплекснозначных функций f и g с конечной областью определения можно вычислить их свёртку:

Тогда это то же самое, что и произведение Коши функций f и g. В более общем случае, для заданного моноида S можно построить алгебру полугрупп S, где умножение задается операцией свёртки. Если, например, взять S = ℝⁿ, то умножение в S является обобщением произведения Коши на большее число измерений.